Розкриття невизначеностей
Розкриття невизначеностей — методи обчислення границь функцій, заданих формулами, які внаслідок формальної підстановки в них граничних значень аргументу втрачають сенс, тобто переходять у вирази на зразок:
(Тут — нескінченно мала величина, а — нескінченно велика величина)
за якими неможливо з'ясувати, існують чи ні шукані границі, не кажучи вже про знаходження їх значень, якщо вони існують.
Найпотужнішим методом є правило Лопіталя, однак і воно не у всіх випадках дозволяє обчислити границю. До того ж безпосередньо його можна застосувати тільки до другого і третього з перерахованих типів невизначеностей, тобто відношень, і щоб розкрити інші типи, їх треба спочатку звести до одного з цих.
Також для обчислення границь часто використовують розкладання виразів, що входять у досліджувану невизначеність, у ряд Тейлора в околі граничної точки. Для розкриття невизначеностей типів , , користуються таким прийомом: знаходять границю (натурального) логарифма виразу, що містить дану невизначеність. Як наслідок, тип невизначеності змінюється. Після знаходження границі від неї беруть експоненту.
Для розкриття невизначеностей типу використовують такий алгоритм:
- Виявлення старшого степеня змінної;
- Ділення на цю змінну як чисельника, так і знаменника.
Для розкриття невизначеностей типу існує такий алгоритм:
- Розкладання на множники чисельника і знаменника;
- Скорочення дробу.
Для розкриття невизначеностей типу іноді зручно застосувати таке перетворення:
- нехай і ;
- .
Невизначеності цього типу можна розкрити з використанням асимптотичних розкладів зменшуваного і від'ємника, при цьому нескінченно великі члени одного порядку мають знищуватися.
При розкритті невизначеностей також застосовуються чудові границі та їх наслідки.
Приклад
ред.— приклад[1] невизначеності типу . За правилом Лопіталя . Другий спосіб — додати і відняти в чисельнику і двічі застосувати теорему Лагранжа, до функцій і відповідно:
тут c, d лежать між a і x, тому вони прямують до a при x, що прямує до a, звідси отримуємо ту ж границю, що й у першому способі.
Джерела
ред.- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
Примітки
ред.- ↑ Демидович Б.П. Задача №1358 // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 7-е изд. — М. : Наука, 1969. — С. 136.