Розкриття невизначеностей

Розкриття невизначеностей — методи обчислення границь функцій, заданих формулами, які внаслідок формальної підстановки в них граничних значень аргументу втрачають сенс, тобто переходять у вирази на зразок:

(Тут  — нескінченно мала величина, а  — нескінченно велика величина)

за якими неможливо з'ясувати, існують чи ні шукані границі, не кажучи вже про знаходження їх значень, якщо вони існують.

Найпотужнішим методом є правило Лопіталя, однак і воно не у всіх випадках дозволяє обчислити границю. До того ж безпосередньо його можна застосувати тільки до другого і третього з перерахованих типів невизначеностей, тобто відношень, і щоб розкрити інші типи, їх треба спочатку звести до одного з цих.

Також для обчислення границь часто використовують розкладання виразів, що входять у досліджувану невизначеність, у ряд Тейлора в околі граничної точки. Для розкриття невизначеностей типів , , користуються таким прийомом: знаходять границю (натурального) логарифма виразу, що містить дану невизначеність. Як наслідок, тип невизначеності змінюється. Після знаходження границі від неї беруть експоненту.

Для розкриття невизначеностей типу використовують такий алгоритм:

  1. Виявлення старшого степеня змінної;
  2. Ділення на цю змінну як чисельника, так і знаменника.

Для розкриття невизначеностей типу існує такий алгоритм:

  1. Розкладання на множники чисельника і знаменника;
  2. Скорочення дробу.

Для розкриття невизначеностей типу іноді зручно застосувати таке перетворення:

нехай і  ;
.

Невизначеності цього типу можна розкрити з використанням асимптотичних розкладів зменшуваного і від'ємника, при цьому нескінченно великі члени одного порядку мають знищуватися.

При розкритті невизначеностей також застосовуються чудові границі та їх наслідки.

ПрикладРедагувати

  — приклад[1] невизначеності типу   . За правилом Лопіталя  . Другий спосіб — додати і відняти в чисельнику   і двічі застосувати теорему Лагранжа, до функцій   і   відповідно:

 

тут c, d лежать між a і x, тому вони прямують до a при x, що прямує до a, звідси отримуємо ту ж границю, що й у першому способі.

ПриміткиРедагувати

  1. Демидович Б.П. Задача №1358 // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 7-е изд. — М. : Наука, 1969. — С. 136.