Теорема Лагранжа

Для будь-якої функції неперервної на [a, b] і диференціованої на (a, b) існує точка c у проміжку (a, b) така, що січна, що поєднує кінцеві точки проміжку [a, b] є паралельною до дотичної в c

Теоре́ма (формула) Лагра́нжа про скінче́нні при́рости. Доведена французьким математиком і механіком Жозефом Луї Лагранжем.

Формулювання теоремиРедагувати

Якщо функція   неперервна на проміжку  , диференційовна в  , то знайдеться принаймні одна точка   така, що має місце формула:

 .

Ця формула і називається формулою Лагранжа, або формулою про скінченні прирости.

ДоведенняРедагувати

Розглянемо на проміжку   наступну допоміжну функцію:

 .

Перевіримо, що для функції   виконані всі умови теореми Ролля. І справді,   неперервна на проміжку   (як різниця функції   та лінійної функції) та в усіх внутрішніх точках проміжку   має похідну:

 .

З формули (1) очевидно, що  .

Згідно з теоремою Ролля на проміжку   знайдеться точка   така, що

 

З рівності (2) витікає формула Лагранжа. Слід відзначити, що не обов'язково вважати, що  .

ЗауваженняРедагувати

У цьому випадку формулу Лагранжа отримано як наслідок з теореми Ролля. Проте, теорема Ролля сама є частковим випадком теореми Лагранжа.

Інша форма записуРедагувати

Не рідко буває зручно записати формулу Лагранжа у вигляді, декілька відмінному від початкового. Нехай   відповідає всім умовам теореми Ролля. Зафіксуємо будь-яке   з проміжку   та надамо йому довільний приріст  , але такий, щоб значення   також належало до проміжку  . Тоді для проміжку  , будемо мати:

 ,

де   — деяка точка, що лежить між   та  . Можна стверджувати, що знайдеться таке (залежне від  ) число   з інтервалу  , що  . Таким чином, формулу (3) можна переписати як

 ,

де   — деяке число з інтервалу  . Формула Лагранжа у вигляді (4) дає точний вираз для приросту функції через викликавший його довільний скінченний приріст   аргумента. Цей вигляд формули Лагранжа виправдовує термін «формула скінченних приростів».

Геометрична інтерпретаціяРедагувати

Щоб визначити геометричний зміст теореми Лагранжа відзначимо, що   є кутовий коефіцієнт січної, яка проходить через точки   та   кривої  ,   є кутовий коефіцієнт дотичної до кривої  . Формула Лагранжа означає, що на кривій   між точками   та   знайдеться точка   така, що дотична до кривої у цій точці буде паралельною січній.

Механічне значенняРедагувати

Якщо розглянути функцію   як функцію часу, тобто шлях тіла описується законом  , тоді різниця   є шлях, пройдений тілом, а різниця   є усім часом, який було витрачено на подолання шляху  . Отже, відношення всього шляху до часу, який витрачено на подолання цього часу є середня швидкість і визначається відношенням:

 .

Тобто з механічної точки зору формула Лагранжа визначає середню швидкість тіла.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил. (рос.)
  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 

ПосиланняРедагувати