Дотична

У геометрії, доти́чна пряма́ (або просто доти́чна) до кривої в точці — пряма, яка проходить через точку кривої і збігається з нею в цій точці з точністю до першого порядку.

Дотична (червона) до кривої

Кажучи загальними словами, дотична пряма — це пряма, що найкраще наближає криву. Можна дотичну пряму визначити, як граничне положення січної.

Історія

Евклід робить кілька посилань на дотичну (ἐφαπτομένη ephaptoménē) до кола в третій книзі «Начал» (300 р. до н. е.). У своєму творі «Конічні перетини» (бл. 225 р. до н. е.), Аполлоній визначає дотичну як лінію, таку, що жодна інша пряма не може впасти між нею і кривою.

Архімед (бл. 287—212 до н. е.) знайшов дотичну до архімедової спіралі, розглядаючи шлях точки, що рухається по кривій.

У 1630-х роках П'єр Ферма розробив техніку адекватності для обчислення дотичних та інших задач в аналізі і використовував це для обчислення дотичних до параболи. Рене Декарт незалежно використовував свій метод нормалей, заснований на спостереженні, що радіус кола завжди нормальний для самого кола.

Ці методи призвели до розвитку диференціального числення в XVII столітті. Багато людей зробили свій внесок. Роберваль виявив загальний метод малювання дотичних, розглядаючи криву, описану рухомою точкою, рух якої є результатом декількох більш простих рухів. Рене-Франсуа де Слуз та Йоганнес Хадде знайшли алгебраїчні алгоритми для пошуку дотичних. Подальші розробки включали розробки Джона Валліса та Ісаака Барроу, що ведуть до теорії Ісаака Ньютона та Ґотфріда Ляйбніца.

Визначення дотичної в 1828 р. було «прямою лінією, яка торкається кривої і не перерізає її». Це старе визначення дозволяє запобігти виникненню будь-якої дотичної точки перегину. Він був відхилений, а сучасні визначення еквівалентні тим, які визначали Лейбніц, який визначав дотичну лінію як лінію через пару нескінченно близьких точок на кривій.

Дотична до графіка функції

В кожній точці, пряма дотикається до кривої. Її кут нахилу похідна; області, де похідна додатна, від'ємна, а також рівна нулю позначені зеленим, червоним і чорним кольорами відповідно.

Дотичною до графіка функції $y=f(x)$, диференційованої в точці $x=a$, називається пряма, що проходить через точку $(a;f(a))$ і має кутовий коефіцієнт $f'(a)$. Якщо функція $y=f(x)$ диференційована в точці $x=a$, то в цій точці до графіка можна провести дотичну. Якщо в точці $x=a$ до графіка функції $y=f(x)$ можна провести не вертикальну дотичну, то функція диференційована в точці х.

Рівняння дотичної до кривої $y=f(x)$ у точці $M(x_{0},y_{0})$ має вигляд: : $y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),$ де $\ f'(x_{0})$ — похідна функції $f(x)$ у точці $x_{0}$. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k має вигляд $y=kx+b$. Для дотичної k= $f'{\bigl (}x_{0}{\bigr )}$, то $y=f'{\bigl (}x_{0}{\bigr )}x+b$. Дотична проходить через точку $\ M(x_{0},y_{0})$, то координати цієї точки задовольняють рівняння дотичної, тобто $f{\bigl (}x_{0}{\bigr )}=f'{\bigl (}x_{0}{\bigr )}x_{0}+b$. Звідси $b=f(x_{0})-f'{\bigl (}x_{0}{\bigr )}x_{0}$.

Дотична до кола

Дотична до кола

Пряма, що проходить через точку кола перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичною. При цьому дана точка кола називається точкою дотику. Пряма а проведена через точку A кола перпендикулярно до радіуса ОА. Пряма а є дотичною до кола. Точка A є точкою дотику. Можна також сказати, що коло дотикається до прямої а в точці A.

Дотична площина

Дотична площина до сфери

Площина, яка проходить через точку кульової поверхні і перпендикулярна до радіуса, проведеного у цю точку, називається дотичною площиною. Ця точка називається точкою дотику. Дотична площина має з кулею тільки одну спільну точку — точку дотику. Пряма, яка належить дотичній до кулі площині і проходить через точку дотику, називається дотичною до кулі в цій точці. Оскільки дотична площина має з кулею тільки одну спільну точку, то дотична пряма теж має з кулею тільки одну спільну точку — точку дотику.

Див. також

• Дотична площина
• Дотичний простір
• Дотичний вектор
• Метод дотичних

Посилання

• Геометричний зміст похідної // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 260, 261. — 594 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Дотична // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.