Повторна границя

Для функції декількох змінних $f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)$ можна визначити поняття границі по одній із змінних $\ {{x}_{k}}$ при фіксованих значеннях інших змінних. У зв'язку з цим виникає поняття повторної границі.

Означення

Розглянемо функцію двох змінних $f\left(x,y\right)$, визначену в деякому виколотому околі точки $\left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)$. Виберемо і зафіксуємо змінну $x$. Отримаємо функцію як би однієї змінної. Розглянемо границю:

$\varphi \left(x\right)={\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)$

Будемо вважати, що $\varphi \left(x\right)$ існує. Тепер знімемо фіксацію зі змінної $x$ і розглянемо наступну границю:

$A={\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,\varphi \left(x\right)$

Якщо ця границя існує, то говорять, що $A$ є повторною границею функції $f\left(x,y\right)$ в точці $\left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)$.

$A={\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,{\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)$

Аналогічно ми можемо фіксувати спочатку змінну $y$. У цьому випадку ми також отримаємо повторну границю, але, взагалі кажучи, іншу:

$B={\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,{\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)$

Це визначення можна розповсюдити і на функції декількох змінних $f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)$.

Рівність повторних границь

Нехай функція $f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)$, визначена в виколотому околі точки ${{X}^{0}}=\left(x_{1}^{0},\ldots ,x_{d}^{0}\right)$ і має в цій точці границю (звичайну). Тоді будь-яка повторна границя в точці $\ {{X}^{0}}$ існує і дорівнює звичайній границі цієї функції в цій же точці. У зворотний бік твердження, взагалі кажучи, невірне.

Див. також

• Границя функції в точці

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е. — М : Физматлит, 2004. — Т. 1. — 644 с. — ISBN 5-9221-0536-1.(рос.)