Стискна теорема

Теорема про двох міліціонерів

Стискна теорема (Теорема про двох міліціонерів, Теорема про двох поліцейських) — теорема в математичному аналізі про існування границі у функції, яка «затиснута» між двома іншими функціями, що мають однакову границю. Формальне означення стискної теореми (англ. squeeze theorem) таке:

Нехай I це інтервал, для якого точка a - гранична точка. Нехай f, g і h будуть функціями визначеними на I, можливо окрім точки a. Припустимо, що для кожної точки x в I, яка не дорівнює a, маємо:

і також приступне таке:

Тоді

  • Функції g і h називають верхньою та нижньою границями (відповідно) f.
  • Тут a не мусить бути у внутрішності I. І дійсно, якщо a є кінцевою точкою I, тоді наведені вище границі є лівою або правою границями.
  • Схоже твердження чинне для нескінченних інтервалів, якщо I = (0, ∞), тоді висновок чинний, з границею при x → ∞.

ДоведенняРедагувати

Проведемо доведення із використанням (ε, δ) означення границі, тобто нам потрібно довести, що для кожного дійсного ε > 0 існує дійсне δ > 0 таке, що для всіх x з 0 < |x − a | < δ, виконується -ε <f(x) − L < ε. Тобто,

 .

Те, що

 

значить, що

  (1)

і

 

значить, що

 , (2)

тоді ми маємо

 
 

Ми можемо обрати δ таке, що δ < δ1 і δ < δ2. Тоді, якщо |x - a|<δ, поєднавши (1) і (2), отримаємо

 
 

, що й треба було довести.

ПрикладРедагувати

Перший прикладРедагувати

 
x2 sin(1/x) затиснута як x прямує до 0

Границю

 

неможливо встановити через закон

 

бо

 

не існує.

Однак, з визначення синуса,

 

Випливає, що

 

З того, що  , за стискною теоремою,   повинен бути 0.

Другий прикладРедагувати

Ймовірно найвідоміші приклади віднайдення границі через затискання — це доведення того, що

 

Перший випливає з використання стискної теореми і факти, що

 

для x досить близького, але не рівного 0.

Ці дві границі використовуються для доведення того, що похідна синуса є косинус. На цей факт спираються доведення значень похідних для інших тригонометричних функцій.

ПосиланняРедагувати