Верхня і нижня границі

В математичному аналізі верхня і нижня границі визначаються для числових послідовностей чи функцій і використовуються при їх вивченні. На відміну від звичайної границі, верхня і нижня границі завжди існують (хоч і можуть бути рівними нескінченності). Для нижньої границі послідовності використовуються позначення (поширене в українській і російській літературі) і (поширеніше в західній літературі). Для верхньої границі відповідні позначення мають вигляд і

Верхня границя (limsup) і нижня границя (liminf)

ВизначенняРедагувати

Визначення для послідовностейРедагувати

Нижню границю послідовності можна визначити:

 

або

 

Подібним чином верхня границя послідовності (xn) визначається

 

або

 

Визначення для функційРедагувати

Нехай дано дійсну функцію   де   і ξ — граничну точку I, тоді верхню і нижню границю функції в точці ξ можна визначити:

 
 

Аналогічно можна визначити односторонні границі функції в точці:

 
 
 
 

Визначення для послідовності множинРедагувати

Нехай Ω — деяка множина, (An) — послідовність її підмножин. Тоді верхня і нижня границі цієї послідовності визначаються за формулами:

 

і

 

ПрикладиРедагувати

  •  
  •  
  •  

ВластивостіРедагувати

  • У будь-якої послідовності існують верхня і нижня границі, що належать множині  
  • Числова послідовність   збігається до   тоді і тільки тоді, коли  .
  • Для будь-якого наперед узятого додатного числа   всі елементи обмеженої числової послідовності  , починаючи з деякого номера, залежного від  , лежать усередині інтервалу  .
  • Якщо за межами інтервалу   лежить лише скінченна кількість елементів обмеженої числової послідовності  , то інтервал   міститься в інтервалі  .
  • Виконуються нерівності:
  •  
  •  
 

ЛітератураРедагувати