Границя — одне з основних понять математики, яке означає, що деякий об'єкт, змінюючись, нескінченно наближається до певного сталого значення. Точний зміст отримує лише при наявності коректного визначення поняття близькості між елементами (точками) множини, в якій вказана величина набуває значення.

Основні поняття математичного аналізу — неперервність, похідна, інтеграл — визначають через границю.

Границя послідовностіРедагувати

Стале число   називають границею послідовності  , якщо для кожного додатного числа  , скільки б малим воно не було, існує такий номер  , що всі значення  , в яких номер  , задовольняють нерівність

 

Той факт, що   є границею послідовності, позначають так:   або просто   чи  . Номер   залежить від вибору числа  . При зменшенні   число   буде збільшуватись. Тобто, чим більш близькі члени   послідовності до   вимагати, тим більші значення їх індексів.

Границя функціїРедагувати

 
c
 
Для всіх x > S, f(x) перебуває в межах ε із L.

Нехай  , причому  , і   — гранична точка множини  . У подальшому будемо розглядати функції  .

Означення за КошіРедагувати

Число   називається границею функції   в точці  , якщо для кожного додатного числа   існує додатне число   таке, що для довільного   виконується нерівність  

Позначення:

 

або

  при  .

Під   і   можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. У цих позначеннях похибка   обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані   до граничної точки.

Означення за ГейнеРедагувати

Число   називається границею функції   в точці  , якщо для довільної послідовності  ,   при  , що збігається до числа  , відповідна послідовність значень функції   збіжна і має границею одне і теж саме число  .


Наприклад,

 .

Як видно f(1) не визначено, але коли x наближається до 1, то f(x) відповідно наближається до 2:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.900 1.990 1.999 не визначено 2.001 2.010 2.100

Таким чином, f(x) можна зробити як завгодно близьким до границі 2, просто зробивши x досить близьким до 1. Тобто

 

Це також можна обчислити алгебраїчно як   для всіх дійсних чисел x ≠ 1.

Оскільки x + 1 визначене при , то можна підставити 1 замість x, що приведе до рівності

 

На додаток до границь зі скінченними значеннями, функції також можуть мати границі в нескінченності. Наприклад, розглянемо функцію

 ,

для якої

  • f(100) = 1.9900
  • f(1000) = 1.9990
  • f(10000) = 1.9999

Коли x стає надзвичайно великим, значення f(x) наближається до 2, а значення f(x) можна наблизити до 2, зробивши x достатньо великим. Отже, у цьому випадку границя f(x) при x, що прямує до плюс нескінченності, дорівнює 2, або в математичному записі

 

Обчислюваність границіРедагувати

Границю іноді може бути важко обчислити. Існують граничні вирази, модуль збіжності[en] яких нерозв’язний. У теорії обчислюваності гранична лема[en] показує, що нерозв’язні задачі можна кодувати, використовуючи границі.[1]

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Recursively enumerable sets and degrees, Soare, Robert I.