Індуктивна границя

Індуктивна (або пряма) границя  — конструкція, що виникла спочатку в теорії множин і топології, а потім знайшла широке застосування в багатьох розділах математики. Двоїсте поняття  — проективна (або обернена) границя.

Ця конструкція дозволяє побудувати новий об'єкт по послідовності (індексованій направленою множиною) однотипних об'єктів і набору відображень , . Для індуктивної границі зазвичай використовується позначення

.

Ми дамо визначення для алгебраїчних структур, а потім  — для об'єктів довільної категорії.

ВизначенняРедагувати

Алгебраїчні об'єктиРедагувати

У цьому розділі буде дано визначення, що підходить для множин з додатковою структурою, таких як групи, кільця, модулі над фіксованим кільцем.

Нехай    — направлена множина з відношенням передпорядку   і нехай кожному елементу   відповідає алгебраїчний об'єкт  , а кожній парі  ,  , в якій  , відповідає гомоморфізм  , причому    — тотожні відображення для будь-якого   і   для будь-яких   з  . Таку систему об'єктів і гомоморфізмів називають також направленою системою.

Тоді множина-носій прямої межі направленої системи    — це фактормножина диз'юнктного об'єднання множин-носіїв   по відношенню еквівалентності:

 

Тут   і   еквівалентні, якщо існує таке  , що  . Інтуїтивно, два елементи диз'юнктного об'єднання еквівалентні, тоді і тільки тоді, коли вони «рано чи пізно стануть еквівалентними» в направленій системі. Більш просте формулювання  — це транзитивне замикання відносини еквівалентності «кожен елемент еквівалентний своїм образам», тобто  .

З цього визначення легко отримати канонічні морфізми  , котрі відправляють кожен елемент в його клас еквівалентності. Алгебраїчну структуру на   можна отримати, виходячи із цих гомоморфізмів.

Визначення для довільної категоріїРедагувати

У довільній категорії пряму границю можна визначити за допомогою її універсальної властивості. А саме, пряма границя направленої системи    — це об'єкт   категорії, такий що виконуються наступні умови:

  1. Існують такі відображення  , що   для будь-яких  ;
  2. Для будь-яких відображень  , в довільну множину  , для яких виконані рівності   для будь-яких  , існує єдине відображення  , що  , для всіх  .

Більш загально, пряма границя направленої системи  — це те ж саме, що її кограниця в сенсі теорії категорій.

ПрикладиРедагувати

  • На довільній сім'ї підмножин даної множини можна задати структуру передпорядку по включенню. Якщо цей передпорядок дійсно є направленим, то прямою границею є звичайне об'єднання множин.
  • Нехай p  — просте число. Розглянемо направлену систему з груп Z/pnZ і гомоморфізмів Z/pnZ > Z/pn+1Z, індукованих множенням на p. Пряма границя цієї системи містить всі корені з одиниці, порядок яких  — деякий степінь p. Їх група по множенню називається групою Прюфера Z(p).
  • Нехай F  — пучок на топологічному просторі X зі значеннями в C. Зафіксуємо точку x в X. Відкриті околи x утворюють направлену систему по включенню (UV якщо U містить V). Функтор пучка зіставляє їй направлену систему ( F(U), rU,V ), де r  — відображення обмеження. Пряма границя цієї системи складається з ростків F над x і позначається Fx .
  • Прямі межі в категорії топологічних просторів виходять присвоєнням фінальна топологія відповідної множини-носія.

ЛітератураРедагувати