Відкрити головне меню

Інтегра́льна фо́рмула Коші́ — одна з головних формул комплексного аналізу, виведена Оґюстеном-Луї Коші. Вона дозволяє виразити значення регулярної функції в будь-якій точці області через значення функції на межі цієї області. Використовується для доведення еквівалентності понять голоморфності (дифереційовності в околі) та аналітичності, а також при обчисленні контурних інтегралів у комплексній площині.

Зміст

ТеоремаРедагувати

Нехай функція   диференційовна в області  . Якщо скінченна область   разом зі своєю межею   належить області  , а  , то

 .

ДоведенняРедагувати

Підінтегральний вираз є відношенням двох диференційовних функцій, при цьому знаменник обертається в нуль лише при  . Тому функція   диференційовна в усіх точках області   за винятком точки  . Візьмемо   настільки малим, щоб круг   належав області  , і позначимо через   область  , з якої видалено точку  , а через   область  , з якої видалено круг  .

Функція   диференційовна в області  , і область   лежить в області   разом зі своєю межею (позначимо її через  ). Отже, за інтегральною теоремою Коші інтеграл по   від   дорівнює нулю. Проте   складається з С та кола  . Інтегрування відбувається проти годинникової стрілки, тому   залишається зліва, а круг   — справа. Тому, змінивши напрямок інтегрування по колу на протилежне можна стверджувати:

 

Інтеграл зліва не залежить від  . Тому при обчисленні інтеграла в правій частині значення   можна обирати довільно. Отже:

 

Підінтегральний вираз в   обмежений при  : він прямує до  . Так як довжина   дорівнює  , а модуль інтеграла не більший за добуток максимума модуля підінтегральної функції на довжину шляху інтегрування, то  . Інтеграл   обчислюються при переході до параметричного запису рівняння кола  :

 

Отже,

 

Оскільки ліва частина рівності не залежить від  , то теорему доведено.

НаслідкиРедагувати

Оскільки це центральна формула всього комплексного аналізу, то вона має декілька важливих наслідків:

  • Поняття диференційовності та аналітичності еквівалентні;
  • Якщо функція   має розвинення в ряд Тейлора або ряд Лорана в околі деякої точки  , то коефіційєнти ряду визначаються формулою:
 
де r — довільне додатне дійсне число;
  • Якщо функція   має похідні до n-ого порядку включно у точці  , то вони визначаються за формулою
 
Формулу легко довести, якщо прирівняти вирази для коефіцієнтів ряду Тейлора в інтегральній та диференціальній формах;
  • Терема про середнє. Значення функції  , що є голоморфною в області   в кожній скінченній точці   дорівнює середньому арифметичному її значень на будь-якому досить малому колі з центром в точці  :
      Звідси, зокрема, випливає принцип максимуму модуля.
Більш загально, якщо функція   в околі точки   розкладається в ряд Тейлора:   (де  ) то
 
Ці формули випливають із параметризації колі з центром в точці   і радіуса R: точки цього кола мають вигляд   Тоді із означення комплексних лінійних інтегралів і вказаної параметризації   і теореми про середнє одержуються із формули для коефіцієнтів ряду Тейлора вище.
  • Друга теорема про середнє. Значення функції  , що є голоморфною в області   в кожній скінченній точці   дорівнює середньому арифметичному її значень на будь-якому досить малому крузі з центром в точці   Точніше для круга з центром у   радіуса r можна записати:
 
де подвійний інтеграл є стандартним інтегралом по крузі.
Для доведення подвійний інтеграл можна переписати через повторний у полярних координатах і використати попередню теорему про середнє:
 
 
де  первісна для  . Слід зауважити, що багатозначна функція може і не мати первісної, навіть якщо вона, функція, і регулярна в даній області.

ПрикладРедагувати

Для функції

 

обчислити значення інтегралу для контура  

Розв’язанняРедагувати

Функція   має три особливі точки:  .

У першому випадку до даного контуру потрапляють всі особливості. Отже, інтеграл можна розбити на три:

 

Числа   можна обрати будь-якими малими, аби вони не включили інших особливих точок функції. Отже, застосувавши інтегральну формулу Коші до кожного з інтегралів маємо:

 
 

ДжерелаРедагувати

  • Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.