Інтегральна формула Коші

Інтегра́льна фо́рмула Коші́ — одна з головних формул комплексного аналізу, виведена Оґюстеном-Луї Коші. Вона дозволяє виразити значення регулярної функції в будь-якій точці області через значення функції на межі цієї області. Використовується для доведення еквівалентності понять голоморфності (дифереційовності в околі) та аналітичності, а також при обчисленні контурних інтегралів у комплексній площині.

Теорема

Нехай функція $f(z)\,$ диференційовна в області $D\,$. Якщо скінченна область $G\,$ разом зі своєю межею $C=\partial G\,$ належить області $D\,$, а $\xi \in G\,$, то

$\oint _{C}{\frac {f(z)dz}{z-\xi }}=2\pi if(\xi )$.

Доведення

Підінтегральний вираз є відношенням двох диференційовних функцій, при цьому знаменник обертається в нуль лише при $z=\xi$. Тому функція $\varphi (z)={\frac {f(z)dz}{z-\xi }}$ диференційовна в усіх точках області $D\,$ за винятком точки $z=\xi$. Візьмемо $\varrho >0$ настільки малим, щоб круг $|z-\xi |\leq \varrho$ належав області $G\,$, і позначимо через $D'\,$ область $D\,$, з якої видалено точку $\xi$, а через $G_{\rho }\,$ область $G\,$, з якої видалено круг $|z-\xi |\leq \varrho$.

Функція $\varphi (z)$ диференційовна в області $D'\,$, і область $G_{\rho }\,$ лежить в області $D'\,$ разом зі своєю межею (позначимо її через $C_{\rho }\,$). Отже, за інтегральною теоремою Коші інтеграл по $C_{\rho }\,$ від $f(z)\,$ дорівнює нулю. Проте $C_{\rho }\,$ складається з С та кола $\Gamma _{\varrho }:|z-\xi |=\varrho \,$. Інтегрування відбувається проти годинникової стрілки, тому $G_{\rho }\,$ залишається зліва, а круг $|z-\xi |<\varrho$ — справа. Тому, змінивши напрямок інтегрування по колу на протилежне можна стверджувати:

$\oint _{C}\varphi (z)dz=\oint _{\Gamma _{\varrho }}\varphi (z)dz$

Інтеграл зліва не залежить від $\varrho$. Тому при обчисленні інтеграла в правій частині значення $\varrho$ можна обирати довільно. Отже:

$\oint _{\Gamma _{\varrho }}\varphi (z)dz=\oint _{\Gamma _{\varrho }}{\frac {f(z)dz}{z-\xi }}=f(\xi )\oint _{\Gamma _{\varrho }}{\frac {dz}{z-\xi }}+\oint _{\Gamma _{\varrho }}{\frac {f(z)-f(\xi )}{z-\xi }}dz=f(\xi )I_{1}+I_{2}$

Підінтегральний вираз в $I_{2}$ обмежений при $z\to \xi$: він прямує до $f'(\xi )\,$. Так як довжина $\Gamma _{\varrho }$ дорівнює $2\pi \varrho$, а модуль інтеграла не більший за добуток максимума модуля підінтегральної функції на довжину шляху інтегрування, то $I_{2}\to 0\quad (\varrho \to 0)$. Інтеграл $I_{1}$ обчислюються при переході до параметричного запису рівняння кола $\Gamma _{\varrho }:z=\xi +\varrho e^{i\theta },0\leq \theta \leq 2\pi$:

$\oint _{\Gamma _{\varrho }}{\frac {dz}{z-\xi }}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {i\varrho e^{i\theta }d\theta }{\varrho e^{i\theta }}}=2\pi i$

Отже,

$\oint _{C}\varphi (z)dz=2\pi if(\xi )+o(1)\qquad (\varrho \to 0)$

Оскільки ліва частина рівності не залежить від $\varrho$, то теорему доведено.

Наслідки

Оскільки це центральна формула всього комплексного аналізу, то вона має декілька важливих наслідків:

• Поняття диференційовності та аналітичності еквівалентні;
• Якщо функція $f(z)$ має розвинення в ряд Тейлора або ряд Лорана в околі деякої точки $z=a$, то коефіційєнти ряду визначаються формулою:

$C_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z-a|=r}{\frac {f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}},$

де r — довільне додатне дійсне число;

• Якщо функція $f(z)$ має похідні до n-ого порядку включно у точці $z=a$, то вони визначаються за формулою

$f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}}$

Формулу легко довести, якщо прирівняти вирази для коефіцієнтів ряду Тейлора в інтегральній та диференціальній формах;

• Терема про середнє. Значення функції $f(z)\,$, що є голоморфною в області $D\,$ в кожній скінченній точці $z_{0}\in D$ дорівнює середньому арифметичному її значень на будь-якому досить малому колі з центром в точці $z_{0}$:

  $\displaystyle f\left({z_{0}}\right)={\dfrac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f\left({z_{0}+Re^{i\theta }}\right)\,\mathrm {d} \theta$ Звідси, зокрема, випливає принцип максимуму модуля.

Більш загально, якщо функція $f(z)\,$ в околі точки $z_{0}$ розкладається в ряд Тейлора: $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(z-z_{0})^{n},$ (де $C_{0}=f(z_{0})$) то

$\displaystyle C_{n}={\dfrac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f\left({z_{0}+Re^{i\theta }}\right)e^{-in\theta }\,\mathrm {d} \theta .$

Ці формули випливають із параметризації колі з центром в точці $z_{0}$ і радіуса R: точки цього кола мають вигляд $z=z_{0}+Re^{i\theta },\ 0\leqslant \theta <2\pi .$ Тоді із означення комплексних лінійних інтегралів і вказаної параметризації ${\frac {dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}={\frac {i}{R^{n}}}e^{-in\theta }$ і теореми про середнє одержуються із формули для коефіцієнтів ряду Тейлора вище.

• Друга теорема про середнє. Значення функції $f(z)\,$, що є голоморфною в області $D\,$ в кожній скінченній точці $z_{0}\in D$ дорівнює середньому арифметичному її значень на будь-якому досить малому крузі з центром в точці $z_{0}.$ Точніше для круга з центром у $z_{0}$ радіуса r можна записати:

$f(z_{0})={\frac {1}{\pi r^{2}}}\int \int _{|z-z_{0}|\leqslant r}f(z)dV,$

де подвійний інтеграл є стандартним інтегралом по крузі.

Для доведення подвійний інтеграл можна переписати через повторний у полярних координатах і використати попередню теорему про середнє:

${\frac {1}{\pi R^{2}}}\int \int _{|z-z_{0}|\leqslant r}f(z)dV={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }f\left({z_{0}+Re^{i\theta }}\right)r\ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} r={\frac {2}{R^{2}}}\int _{0}^{R}f(z_{0})r\ \mathrm {d} r=f(z_{0}).$

• Для комплексних інтегралів справедлива формула Ньютона—Лейбніца:

$\int _{a}^{b}f(z)dz=F(b)-F(a),$

де $F(z)$ — первісна для $f(z)$. Слід зауважити, що багатозначна функція може і не мати первісної, навіть якщо вона, функція, і регулярна в даній області.

Приклад

Для функції

$g(z)={\frac {1-\sin z}{z^{2}(z-{\frac {\pi }{2}})(z+\pi )}}$

обчислити значення інтегралу для контуру $C:|z|=4$

Розв’язання

Функція $g(z)$ має три особливі точки: $z_{0}=0,\quad z_{1}={\frac {\pi }{2}},\quad z_{2}=-\pi$.

У першому випадку до даного контуру потрапляють всі особливості. Отже, інтеграл можна розбити на три:

$\oint _{C}{\frac {1-\sin z}{z^{2}(z-{\frac {\pi }{2}})(z+\pi )}}dz=\oint _{|z|=\varrho }{\frac {\frac {1-\sin z}{(z-{\frac {\pi }{2}})(z+\pi )}}{z^{2}}}dz+\oint _{|z|=\rho }{\frac {\frac {1-\sin z}{z^{2}(z+\pi )}}{z-{\frac {\pi }{2}}}}dz+\oint _{|z|=r}{\frac {\frac {1-\sin z}{z^{2}(z-{\frac {\pi }{2}})}}{z+\pi }}dz$

Числа $\varrho ,\rho ,r$ можна обрати будь-якими малими, аби вони не включили інших особливих точок функції. Отже, застосувавши інтегральну формулу Коші до кожного з інтегралів маємо:

$\oint _{C}{\frac {1-\sin z}{z^{2}(z-{\frac {\pi }{2}})(z+\pi )}}dz=2\pi i\left(-{\frac {(z_{0}-{\frac {\pi }{2}})(z_{0}+\pi )\cos z_{0}+(1-\sin z_{0})\left(2z_{0}+{\frac {\pi }{2}}\right)}{(z_{0}+\pi )^{2}\left(z_{0}-{\frac {\pi }{2}}\right)^{2}}}+{\frac {1-\sin z_{1}}{z_{1}^{2}(z_{1}+\pi )}}+{\frac {1-\sin z_{2}}{z_{2}^{2}(z_{2}-{\frac {\pi }{2}})}}\right)=$

$=2\pi i\left({\frac {2}{\pi ^{2}}}-{\frac {2}{\pi ^{3}}}-0-{\frac {2}{3\pi ^{3}}}\right)={\frac {4i}{3\pi ^{2}}}(3\pi -4)$

Джерела

• Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.