Гіперболо́їд (грец. hyperbole — гіпербола, і грец. eidos — подібність) — вид поверхні другого порядку в тривимірному просторі, що задається в Декартових координатах рівнянням

Гіперболоїд
Зображення
Формула
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика
Є об'єднанням див. список:d
CMNS: Гіперболоїд у Вікісховищі
Однопорожнинний гіперболоїд
Двопорожнинний гіперболоїд
(однопорожнинний гіперболоїд), де a і b — дійсні півосі, а c — уявна піввісь;

або

(двопорожнинний гіперболоїд), де a і b — уявні півосі, а c — дійсна піввісь.

Якщо a = b, то така поверхня зветься — гіперболоїд обертання. Однопорожнинний гіперболоїд обертання можна отримати обертанням гіперболи навколо її уявної осі, двопорожнинний — навколо дійсної. Двопорожнинний гіперболоїд обертання також є геометричним місцем точок P, модуль різниці відстаней від яких до двох заданих точок A і B є сталим: . У такому випадку точки A і B звуться фокусами Гіперболоїда.

Однопорожнинний гіперболоїд є двічі лінійчатою поверхнею. Якщо він є гіперболоїдом обертання, то його можна отримати обертанням прямої навколо іншої прямої, що є мимобіжною з нею. Цю властивість лінійчатих однопорожнинних гіперболоїдів використовують в архітектурі. Зокрема, вежа Шухова в Москві є гіперболоїдною конструкцією. Вона складена саме з гіперболоїдів, що утворені прямими стрижнями.

Більш, ніж у трьох вимірах

ред.

Уявні гіперболоїди — звичне явище в математиці високих розмірностей. Наприклад, у псевдо-Евклідовому просторі розглянемо квадратичну форму:

 

Якщо c є довільною сталою, то частина простору, в межах

 

називається гіперболоїдом. Випадок, коли c = 0 є виродженим.

Кривина та тензор Річчі гіперболоїда

ред.

Геометрію гіперболоїда можна просто описати, представивши його вкладеним в фіктивний чотиривимірний простір:

 .

Введенням координат

 

можна задовольнити  , а елементи довжин на поверхні матимуть вигляд (елементарно перевіряється підстановкою)

 .

Як видно, метричний тензор має специфічну структуру: є діагональним, перший діагональний елемент рівен одиниці, другий залежить від першої змінної, третій — від першої і другої, а від третьої змінної залежності немає, що, деякою мірою, відповідає ізотропії простору.

Виходячи із цього, можна визначити вирази для символів Кристоффеля: маючи загальний вираз

 ,

де метричний тензор   має вигляд

 ,

для частинних випадків виразів можна отримати

 ;

 ;

оскільки, в силу структури метричних тензорів,  ;

 ;

 .

Тепер можна спростити (якомога більше зменшити кількість сум) вираз для тензора Річчі: маючи загальне визначення,

 ,

та вирази  ,

для тензора можна отримати (сума лише по індексах  )

 .

Тепер можна застосувати спрощений вигляд для тензора Річчі до метрики описаних вище просторів. Наприклад, можна взяти гіперболічний простір. Треба обчислити компоненти  . Спочатку доведеться отримати, користуючись  , явний вигляд для символів Кристоффеля:

 ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 .

Тоді, наприклад, компонента 11 тензора, із урахуванням цих виразів та  , має вираз

 .

Компонента 22:

 

 .

Компонента 33:

 

 

 

 .

Аналогічні викладки (перевіряються повністю ідентично попереднім) дають

 .

Отже, для гіперболоїда

 .

Згортаючи тензор Річчі із метричним тензором (відповідно до визначення скалярної кривини), можна отримати, що для гіперболоїда скалярна кривина рівна

 .

Отже, гіперболічний простір — простір з постійною скалярною кривиною.

У мистецтві

ред.

В архітектурі

ред.
 
Проект 350-метрової вежі В. Г. Шухова, 1919

Лінійчата конструкція, що має форму однополостного гіперболоїда, є жорсткої: якщо балки з'єднати шарнірно, гіперболоїдна конструкція все одно буде зберігати свою форму під дією зовнішніх сил.

Для високих споруд основну небезпеку несе вітрове навантаження, а у ґратчастої конструкції вона невелика. Ці особливості роблять гіперболоїдні конструкції міцними, незважаючи на невисоку матеріаломісткість.

Прикладами гіперболоїдних конструкцій є:

У літературі

ред.

Див. також

ред.

Посилання

ред.