Параболоїд — тип поверхні другого порядку.

Параболоїд обертання

РівнянняРедагувати

Типи параболоїдівРедагувати

Канонічне рівняння параболоїда в декартових координатах:

 
  • якщо   і   мають один знак, то параболоїд зветься еліптичним.
  • якщо   і   мають різні знаки, то параболоїд зветься гіперболічним.
  • якщо один з коефіцієнтів дорівнює нулю, то параболоїд зветься параболічним циліндром.

Еліптичний параболоїдРедагувати

 
Еліптичний параболоїд

Еліптичний параболоїд виглядає як овальна чашка й може мати точку максимуму або мінімуму. У системі координат з трьома осями  ,   і  , еліптичний параболоїд може бути поданий рівнянням

 

де   і   — константи, що визначають кривизну в площинах  -  і  -  відповідно.

Гіперболічний параболоїдРедагувати

 
Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд (не плутати з гіперболоїдом) — це двічі лінійчата поверхня, що має вигляд сідла. У підходящій системі координат гіперболічний параболоїд може бути поданий рівнянням

 

ВластивостіРедагувати

Гіперболічний параболоїд — це двічі лінійчата поверхня, тому може бути використана для побудови сідлової поверхні з ліній.

Коли a = b, еліптичний параболоїд перетворюється на параболоїд обертання: поверхню отримано обертанням параболи навколо її осі. Форму параболоїду обертання мають параболічні рефлектори, дзеркала, антенні тарілки тощо. Форма рідини, що обертається в рідинно-дзеркальних телескопах, також є параболоїдом обертання. Параболоїд обертання також називається круговим параболоїдом.

КривинаРедагувати

Еліптичний параболоїд, що параметризований як

 

має Ґаусову кривину

 

і середню кривину

 

обидві з яких є позитивними, мають максимум на початку відліку, стають меншими з рухом точки від початку відліку, прямують асимптотично до нуля, коли точка рухається нескінченно віддалено від початку відліку.

Гіперболічний параболої параметризований як

 

має Ґаусову кривину

 

і середню кривину

 

Таблиця множенняРедагувати

 
Чіпси Прінглз — це приклад гіперболічного параболоїду

Якщо гіперболічний параболоїд

 

обертається на кут π/4 в напрямку +z (відповідно до правила правої руки, то результатом є поверхня

 

і якщо   тоді вираз спрощується до

 .

Нарешті, прирівнюючи  , можна бачити, що гіперболічний параболоїд

 

є конгруентним до поверхні

 

що може бути геоментричною інтерпретацією (тривимірна номограма) таблиці множення.

Дві параболоїдні   функції

 

і

 

є гармонійними кон'югатами, і разом формують аналітичну функцію

 

яка є аналітичним продовженням   parabolic function  

Параболоїди в природі та техніціРедагувати

 
Дах вокзалу в Варшаві має форму гіперболічного параболоїда

Параболоїди обертання мають властивість фокусувати промені, що проходять паралельно головній оптичній осі, в одній точці, ця властивість використовується при розробці антен та телескопів.

Гіперболічний параболоїд утворюється сіткою прямих, що перетинаються, ця властивість використовується в будівництві.

Гіперболоїд інженера Гаріна насправді мав форму параболоїда обертання.

ПосиланняРедагувати

Див. такожРедагувати