Еліпсоїд

Еліпсоїд — замкнута центральна поверхня другого порядку.

Еліпсоїд обертання

Еліпсоїд

Загальний опис

Еліпсоїд має центр симетрії та три осі, які називаються осями еліпсоїда. Точки перетину координатних осей з еліпсоїдом називаються його вершинами. Перетини еліпсоїда площинами є еліпсами (зокрема, завжди можна вказати кругові перетини еліпсоїда). В декартовій системі координат рівняння еліпсоїда має вигляд:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.$

де a, b, c — додатні дійсні числа, що називаються півосями еліпсоїда. Оскільки сума трьох додатних доданків лівої частини рівняння дорівнює одиниці, то кожен з них (при дійсних значеннях координат) не може перевищувати одиниці:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}\leq 1,{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\leq 1,{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\leq 1$

Звідси випливає, що координати точок еліпсоїда задовольняють нерівність:

$-a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b,-c\leq z\leq c$

Отже, еліпсоїд - скінченна поверхня, яка цілком лежить всередині паралелепіпеда, розміри якого $2a,2b,2c$

Рівняння еліпсоїда

Декартові координати

Узагальнена форма

Довільно орієнтований еліпсоїд, із центром у точці v, визначається розв'язками x рівняння

$(\mathbf {x-v} )^{\mathrm {T} }\!A\,(\mathbf {x-v} )=1,$

де A це додатноозначена матриця і x, v це вектори.

Власні вектори A визначають головні осі еліпсоїда, а власні значення A це обернені квадрати півосей: $a^{-2}$, $b^{-2}$ і $c^{-2}$. Для інтуїтивного розуміння цієї формули достатньо уявити матрицю $A$ як $Q\Lambda Q^{T}$.

По суті, еліпсоїди це одиничні кулі піддані афінному перетворенню. Щоб побачити це згадаємо важливий факт щодо додатноозначеної матриці $A$, існує матриця $B$ така, що $A=BB^{T}$. Позначимо еліпсоїд як $E(a,A)$. Розглянемо бієктивне афінне перетворення $T:x\to y=B^{T}(x-a)$. Воно відображає еліпсоїд в одиничну кулю: $E(a,A)\to {y:y^{T}y\leq 1}=E(0,I)$.

Сферичні координати

У сферичній системі координат будь-яку точку едіпсоїда можна подати як

${\begin{aligned}x&=a\sin \theta \cos \varphi \\y&=b\sin \theta \sin \varphi \\z&=c\cos \theta \end{aligned}}\qquad (0\leqslant \varphi <2\pi ,\ 0\leqslant \theta \leqslant \pi )\!$

Циліндричні координати

${\frac {r^{2}\cos ^{2}(\theta )}{a^{2}}}+{\frac {r^{2}\sin ^{2}(\theta )}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.$

Формули

Об'єм	$V\,=\,{\frac {4}{3}}\pi abc$

Див. також

• Земний еліпсоїд
• Референц-еліпсоїд
• Еліпсоїд обертання
• Метод еліпсоїдів

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Еліпсоїд // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
• Еліпсоїд // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 156-157. — 594 с.