Невизначена ортогональна група

Невизначена ортогональна група $\mathrm {O} (p,q)$ — це група Лі всіх лінійних перетворень n-вимірного дійсного векторного простору, які залишають інваріантною невироджену симетричну білінійну форму з сигнатурою $(p,q)$, де $n=p+q$. Розмірність групи дорівнює $n(n-1)/2$.

Невизначена спеціальна ортогональна група $\mathrm {SO} (p,q)$ є підгрупою групи $\mathrm {O} (p,q)$, що складається з усіх елементів з визначником 1. На відміну від особливого випадку $\mathrm {SO} (p,q)$ група не зв'язна — вона має дві компоненти і є дві додаткові підгрупи зі скінченним індексом, а саме, зв'язна $\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$ і $\mathrm {O} ^{+}(p,q)$, яка має дві компоненти.

Сигнатура форми визначає групу з точністю до ізоморфізму. Перестановка p з q призводить до заміни метрики на її заперечення, що дає ту ж саму групу. Якщо p або q дорівнює нулю, група ізоморфна звичайній ортогональній групі O(n). Далі ми припускаємо, що і p, і q додатні.

Джерела

• Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. — Springer, 2015. — Т. 222. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 978-3319134666.
• Anthony Knapp. Lie Groups Beyond an Introduction // Progress in Mathematics. — Second Edition. — Boston : Birkhäuser, 2002. — Т. 140. — ISBN 0-8176-4259-5. — див. опис невизначеної ортогональної групи на с. 372
• В. Л. Попов. Ортогональная группа // Математическая энциклопедия. — М. : «Советская энциклопедия», 1977. — Т. 4.
• Joseph A. Wolf. Spaces of constant curvature. — 6th. — Providence, Rhole Island : AMS Chelsea publishing, 2011. — С. 335. — ISBN 978-0-8218-5282-8.