Відкрити головне меню

Фундаментальною групою в алгебраїчній топології і пов'язаних з нею галузях математики, називається алгебраїчний об'єкт, який зіставляється топологічному простору і вимірює, грубо кажучи, кількість дірок у ньому. Наявність дірки визначається неможливістю неперервно стягнути деяку замкнуту петлю в точці. Фундаментальна група є першою гомотопічною групою.

ОзначенняРедагувати

Нехай  топологічний простір, і   — точка в  , яку називатимемо відміченою. Розглянемо множину неперервних відображень  , таких що  . Такі функції називаються петлями в точці  .

  • Дві петлі   і   вважаються еквівалентними, якщо вони гомотопні одна одній. Відповідні класи еквівалентності називаються гомотопічними класами.
  • Добутком двох петель називається петля, що визначається їх послідовним проходженням:
 
  • Оберненою до петлі   є петля
  для  . Одиничною петлею буде   для кожного  .

Добутком двох гомотопічних класів   і   називається гомотопічний клас   добутку петель. Множина гомотопічних класів петель з таким добутком стає групою. Одиницею групи є клас тотожної, або нерухомої петлі, оберненим елементом — клас петлі, пройденої у зворотному напрямі. Ця група і називається фундаментальною групою простору   з відміченою точкою   і позначається  .

Усі подані вище означення мають сенс оскільки виконується:

  • Якщо   і  , то  .
  • Для   виконується  .
  • Для довільної петлі   існує   і  .

Якщо  лінійно зв'язний простір, то з точністю до ізоморфізму фундаментальна група не залежить від відміченої точки. Тому для таких просторів можна писати   замість   не боячись викликати плутанину.

ПрикладиРедагувати

  • У  , є тільки один гомотопічний клас петель. Отже, фундаментальна група тривіальна, тобто  .
  • Одновимірні сфери   (кола). Кожен гомотопічний клас складається з петель, які навиваються на коло задану кількість разів, яка може бути додатною або від'ємною залежно від напряму. Отже, фундаментальна група одновимірної сфери ізоморфна  .
  • Фундаментальна група орієнтованої замкнутої поверхні роду   може бути задана твірними   з єдиним співвідношенням:  .
  • Фундаментальною групою графа «вісімки» є вільна група з двома породжуючими елементами.

ВластивостіРедагувати

ПосиланняРедагувати

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  1. Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3
  2. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0