Фундаментальна група

Фундаментальною групою в алгебраїчній топології і пов'язаних з нею галузях математики, називається алгебраїчний об'єкт, який зіставляється топологічному простору і вимірює, грубо кажучи, кількість дірок у ньому. Наявність дірки визначається неможливістю неперервно стягнути деяку замкнуту петлю в точці. Фундаментальна група є першою гомотопічною групою.

Означення

Нехай $\ X$ — топологічний простір, і $\ x_{0}$ — точка в $\ X$, яку називатимемо відміченою. Розглянемо множину неперервних відображень $\ f\colon [0,1]\to X$, таких що $\ f(0)=f(1)=x_{0}$. Такі функції називаються петлями в точці $\ x_{0}$.

• Дві петлі $f$ і $g$ вважаються еквівалентними, якщо вони гомотопні одна одній. Відповідні класи еквівалентності називаються гомотопічними класами.

• Добутком двох петель називається петля, що визначається їх послідовним проходженням:

$(f*g)(t)={\begin{cases}f(2t),~t\in [0,{1 \over 2}]\\g(2t-1),~t\in [{1 \over 2},1]\end{cases}}$

• Оберненою до петлі $f$ є петля

${\overline {f}}(t)=f(1-t)$ для $t\in [0,1]$. Одиничною петлею буде $\varepsilon _{x_{0}}(t)=x_{0}$ для кожного $t\in [0,1]\subset \mathbb {R}$.

Добутком двох гомотопічних класів $[f]$ і $[g]$ називається гомотопічний клас $[f*g]$ добутку петель. Множина гомотопічних класів петель з таким добутком стає групою. Одиницею групи є клас тотожної, або нерухомої петлі, оберненим елементом — клас петлі, пройденої у зворотному напрямі. Ця група і називається фундаментальною групою простору $X$ з відміченою точкою $x_{0}$ і позначається $\pi _{1}(X,x_{0})$.

Усі подані вище означення мають сенс оскільки виконується:

• Якщо $\alpha \sim \alpha '\,$ і $\beta \sim \beta '\,$, то $\alpha *\beta \sim \alpha '*\beta '\,$.
• Для $\alpha ,\beta ,\gamma \,$ виконується $(\alpha *\beta )*\gamma \sim \alpha *(\beta *\gamma )\,$.
• Для довільної петлі $\alpha \,$ існує $\varepsilon _{x_{0}}*\alpha \sim \alpha *\varepsilon _{x_{0}}\sim \alpha \,$ і $\alpha *{\overline {\alpha }}\sim {\overline {\alpha }}*\alpha \sim \varepsilon _{x_{0}}\,$.

Якщо $X$ — лінійно зв'язний простір, то з точністю до ізоморфізму фундаментальна група не залежить від відміченої точки. Тому для таких просторів можна писати $\pi _{1}(X)$ замість $\pi _{1}(X,x_{0})$ не боячись викликати плутанину.

Приклади

• У $\mathbb {R} ^{n}$, є тільки один гомотопічний клас петель. Отже, фундаментальна група тривіальна, тобто $(\{0\},+)$.

• Одновимірні сфери $S^{1}$ (кола). Кожен гомотопічний клас складається з петель, які навиваються на коло задану кількість разів, яка може бути додатною або від'ємною залежно від напряму. Отже, фундаментальна група одновимірної сфери ізоморфна $(\mathbb {Z} ,+)$.

• Фундаментальна група орієнтованої замкнутої поверхні роду $g$ може бути задана твірними $a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}$ з єдиним співвідношенням: $a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}\dots a_{g}b_{g}a_{g}^{-1}b_{g}^{-1}=1$.

• Фундаментальною групою графу «вісімки» є вільна група з двома породжувальними елементами.

Властивості

• Вільні групи і лише вони можуть бути реалізовані як фундаментальні групи графів.
• Довільна група може бути реалізована як фундаментальна група двовимірного клітинного комплексу.
• Довільна скінченно задана група може бути реалізована як фундаментальна група замкнутого 4-вимірного многовиду.

Посилання

• Фундаментальна група на сайті PlanetMath

Див. також

• Фундаментальна область
• Залишково скінченна група

Література

1. Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3
2. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0