Гомотопія — в математиці поняття алгебричної топології, що формалізує поняття неперервної деформації одного об'єкта в інший. За допомогою гомотопії визначаються гомотопічні групи, що є важливими інваріантами в алгебричній топології.

Формальне визначенняРедагувати

Нехай   та   — топологічні простори і f та g — два неперервних відображення з простору   в простір  . Тоді відображення f називається гомотопним відображенню g, якщо існує неперервне відображення   таке, що   і   для x ∈ X. Дане неперервне відображення називається гомотопією.

Пов'язані визначенняРедагувати

 
Гомотопічна еквівалентність бублика і чашки
  • Гомотопічний інваріант — це характеристика простору, яка зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів. Тобто, якщо два простори гомотопно еквіваленті, то вони мають однакову характеристику. Наприклад: зв'язність, фундаментальна група, ейлерова характеристика.
  • Якщо на деякій підмножині   для всіх   при  , то   називається гомотопією відносно  , а   і   гомотопними відносно  .
  • Ізотопія — гомотопія топологічного простору   по топологічному простору   тобто  , в якій при будь-кому   відображення   є гомеоморфізмом   на  .

Гомотопічна еквівалентністьРедагувати

  • Гомотопічна еквівалентність топологічних просторів   і   — пара неперервних відображень   і   така, що   і  , тут   позначає гомотопічну еквівалентність відображень. В цьому випадку говорять, що   і   гомотопно еквівалентні, або   з   мають один гомотопний тип.

Гомотопічна групаРедагувати

Гомотопічна група простору   є групою гомотопічних класів неперервних відображень   переводячи відзначену точку сфери у точку   із декотрою операцією. Сферу   можна неперервно й бієктивно відобразити у   де   Таким чином, гомотопічну групу можна визначити як групу гомотопічних класів неперервних відображень   які переводять границю у відзначену точку   Операцію таких відображень можна визначити наступним чином:

 

ВластивостіРедагувати

Рефлексивність. Якщо   — деяке неперервне відображення, тоді функція   визначена   буде гомотопією між f і f.
Симетричність. Нехай відображення   гомотопне відображенню   і   — відповідна гомотопія. Тоді g є гомотопним f з гомотопією  .
Транзитивність. Нехай відображення   гомотопне відображенню   і   — відповідна гомотопія. Нехай також відображення   гомотопне відображенню   і   — відповідна гомотопія. Тоді Тоді f є гомотопним h з гомотопією:
 
  • Усі відображення   є неперервними.
  • Якщо   — неперервні відображення, і   — гомотопія між   і  , то   є гомотопією між   і  .

ПрикладиРедагувати

  • Якщо  , то функції   і   є завжди є гомотопними. Гомотопія визначається:  
  • Множини   є еквівалентними гомотопічно, але не гомеоморфними.
  • Одиничне коло   гомотопно еквівалентне простору  .
  •   де   - апроксимуючі скінченні моделі CW-комплесу   Тут ми маємо відображення   Отримуємо бієкцію  
  • Нехай   - гомотопічні простори із відзначеною точкою, де   - скінченне й у ньому виконується   Нехай відображення   є неперервними та   виконується   Тоді вони є гомотопними. Дійсно, можна побудувати гомотопію   із наступними властивостями:
 
 
Щоб показати неперервність відображеження   потрібно показати, що   є замкненим для будь-якої точки   Якщо   , то й   Це дає   Тоді   А відтак він є замкненим як об'єднання замкнених множин.

ЛітератураРедагувати

  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7
  • Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971