Гомотопія

Гомотопія — в математиці поняття алгебричної топології, що формалізує поняття неперервної деформації одного об'єкта в інший. За допомогою гомотопії визначаються гомотопічні групи, що є важливими інваріантами в алгебричній топології.

Формальне визначення

Нехай $X$ та $Y$ — топологічні простори і f та g — два неперервних відображення з простору $X$ в простір $Y$. Тоді відображення f називається гомотопним відображенню g, якщо існує неперервне відображення $H\colon X\times [0,1]\to Y$ таке, що $f(x)=H(x,0)$ і $g(x)=H(x,1)$ для x ∈ X. Дане неперервне відображення називається гомотопією.

Пов'язані визначення

Гомотопічна еквівалентність бублика і чашки

• Гомотопічний інваріант — це характеристика простору, яка зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів. Тобто, якщо два простори гомотопно еквіваленті, то вони мають однакову характеристику. Наприклад: зв'язність, фундаментальна група, ейлерова характеристика.
• Якщо на деякій підмножині $A\subset X,\;F(t,a)=f(a)$ для всіх $t$ при $a\in A$, то $F$ називається гомотопією відносно $A$, а $f$ і $g$ гомотопними відносно $A$.
• Ізотопія — гомотопія топологічного простору $X$ по топологічному простору $Y,$ тобто $f_{t}\colon X\to Y,\;t\in [0,1]$, в якій при будь-кому $t$ відображення $f_{t}$ є гомеоморфізмом $X$ на $f(X)\subset Y$.

Гомотопічна еквівалентність

• Гомотопічна еквівалентність топологічних просторів $X$ і $Y$ — пара неперервних відображень $f\colon X\to Y$ і $g\colon Y\to X$ така, що $f\circ g\sim \operatorname {id} _{Y}$ і $g\circ f\sim \operatorname {id} _{X}$, тут $\sim$ позначає гомотопічну еквівалентність відображень. В цьому випадку говорять, що $X$ і $Y$ гомотопно еквівалентні, або $X$ з $Y$ мають один гомотопний тип.

Гомотопічна група

Гомотопічна група простору $\Psi \,\,\pi _{n}(\Psi ,\psi _{0})$ є групою гомотопічних класів неперервних відображень $f:S^{n}\rightarrow \Psi ,$ переводячи відзначену точку сфери у точку $\psi _{0},$ із декотрою операцією. Сферу $S^{n}$ можна неперервно й бієктивно відобразити у $I^{n},$ де $I=[0,1].$ Таким чином, гомотопічну групу можна визначити як групу гомотопічних класів неперервних відображень $g:I^{n}\rightarrow \Psi ,$ які переводять границю у відзначену точку $g(\partial I^{n})=\psi _{0}.$ Операцію таких відображень можна визначити наступним чином:

$(g_{1}*g_{2})(t_{1},...,t_{n})={\begin{cases}g_{1}(2t_{1},t_{2},...,t_{n});&t_{1}\in [0;0,5],\\g_{2}(2t_{1}-1,t_{2},...,t_{n});&t_{1}\in [0,5;1],\end{cases}}$

Властивості

• Гомотопія задає відношення еквівалентності на множині неперервних відображень $X\to Y$

Рефлексивність. Якщо $f\colon X\to Y$ — деяке неперервне відображення, тоді функція $H\colon X\times I\to Y$ визначена $H(x,t)=f(x)$ буде гомотопією між f і f.

Симетричність. Нехай відображення $f\colon X\to Y$ гомотопне відображенню $g\colon X\to Y$ і $H\colon X\times I\to Y$ — відповідна гомотопія. Тоді g є гомотопним f з гомотопією $H^{'}(x,t)=H(x,1-t)$.

Транзитивність. Нехай відображення $f\colon X\to Y$ гомотопне відображенню $g\colon X\to Y$ і $H\colon X\times I\to Y$ — відповідна гомотопія. Нехай також відображення $g\colon X\to Y$ гомотопне відображенню $h\colon X\to Y$ і $F\colon X\times I\to Y$ — відповідна гомотопія. Тоді Тоді f є гомотопним h з гомотопією:

$G(x,t)={\begin{cases}H(x,2t);&t\in [0;0,5],\\H(x,2t-1);&t\in (0,5;1],\end{cases}}$

• Усі відображення $h_{t}(x)=H(x,t)\,$ є неперервними.
• Якщо $\ f,f'\colon X\to Y,g\colon Y\to B,h\colon A\to X$ — неперервні відображення, і $H\colon X\times I\to Y$ — гомотопія між $f$ і $f'$, то $g\circ H\circ (h\times I)$ є гомотопією між $g\circ f\circ h$ і $g\circ f'\circ h$.

Приклади

• Якщо $Y=\mathbb {R} ^{m}$, то функції $f$ і $g$ є завжди є гомотопними. Гомотопія визначається: $H(x,t)=f(x)+t\left[g(x)-f(x)\right].$
• Множини $X=[0,1],\;Y=(0,1)$ є еквівалентними гомотопічно, але не гомеоморфними.
• Одиничне коло ${\mathcal {S}}^{1}$ гомотопно еквівалентне простору $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$.
• $[M,N]_{pt}\cong \lim _{\rightarrow }[N_{k,f},M_{f}]_{pt},$ де $N_{k,f}$ - апроксимуючі скінченні моделі CW-комплесу $N.$ Тут ми маємо відображення $[N_{k,f},M_{f}]_{pt}\rightarrow [N,M_{f}]_{pt}\cong [N,M_{f}]_{pt}\,\,\forall k.$ Отримуємо бієкцію $\varphi :\lim _{\rightarrow }[N_{k,f},M_{f}]_{pt}\rightarrow [N,M_{f}].$
• Нехай $U,G$ - гомотопічні простори із відзначеною точкою, де $G$ - скінченне й у ньому виконується $T_{0}.$ Нехай відображення $f,g:U\rightarrow G$ є неперервними та $\forall \,u\in U$ виконується $f(x)\in {\overline {g(x)}}.$ Тоді вони є гомотопними. Дійсно, можна побудувати гомотопію $H:U\times I\rightarrow G$ із наступними властивостями:

$H(u,0)=f(x)$

$H(u,t)=v(u),t\in (0,1].$

Щоб показати неперервність відображеження $H,$ потрібно показати, що $H^{-1}({\bar {p}})$ є замкненим для будь-якої точки $p\in f(U)\cup v(U).$ Якщо $v(u)\in {\bar {p}}$ , то й $f(u)\in {\bar {p}}.$ Це дає $v^{-1}({\bar {p}})\times [0,1]\subseteq f^{-1}({\bar {p}})\times \{0\}\cup v^{-1}({\bar {p}})\times (0,1].$ Тоді $H^{-1}({\bar {p}})=f^{-1}({\bar {p}})\times \{0\}\cup v^{-1}({\bar {p}})\times (0,1]=f^{-1}({\bar {p}})\times \{0\}\cup v^{-1}({\bar {p}})\times [0,1].$ А відтак він є замкненим як об'єднання замкнених множин.

Посилання

• С. Максименко, Інститут математики НАН України, Вступ до теорії гомотопій на YouTube.

Література

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971