CW-комплекс
CW-комплекс — тип топологічних просторів, запропонований Джоном Уайтхедом для потреб теорії гомотопій[en]. Цей клас просторів ширший і має деякі кращі категоріальні властивості, ніж симпліційні комплекси, але так само зберігає комбінаторну природу, яка дозволяє обчислення (часто за допомогою значно меншого комплексу).
Означення
ред.Грубо кажучи, CW-комплекс будується з базових блоків — клітин. Точне визначення вказує, як ці клітини можна топологічно склеювати між собою.
n-вимірна замкнена клітина є образом n-вимірної замкненої кулі. Наприклад, симплекс є замкненою клітиною, і більш загально, опуклий багатогранник є замкненою клітиною. n-вимірна відкрита клітина — топологічний простір, гомеоморфний відкритій кулі. 0-вимірна відкрита (та замкнена) клітина є сінґлетоном.
Для формального означення, нехай і позначають відповідно замкнуту одиничну кулю, відкриту одиничну кулю і одиничну сферу відповідних розмірностей. Для кожного нехай позначає індексуючу множину і — для кожного є неперервним відображенням образ якого називається замкненою клітиною у X (а образи при цих відображеннях називаються відкритими клітинами).
CW-комплексом називається гаусдорфів простір X із вказаними індексуючими множинами і відображеннями, що задовольняє додаткові умови:
- Відкриті клітини утворюють розбиття простору X, тобто
- Всі відображення є ін'єктивними і є непустою множиною лише коли і
- n-кістяком CW-комплекса називається підпростір Для всіх і образи одиничних сфер належать кістякам відповідних розмірів, тобто
- Для всіх і множина є підмножиною скінченного об'єднання множин виду
- Підмножина є замкнутою підмножиною простору X, якщо і тільки якщо для всіх і множина є замкнутою підмножиною у
Індуктивне означення CW-комплексів
ред.Якщо найбільша розмірність клітин CW-комплексу є рівною n, то число n називається розмірністю CW-комплексу. Якщо розмірності його клітин не мають обмеження зверху, то комплекс називається нескінченновимірним.
n-кістяк CW-комплекса — об'єднання всіх клітин розмірності не більше n.
Якщо об'єднання множини клітин замкнене, то воно теж є CW-комплексом, і називається підкомплексом. Отож, n-кістяк — найбільший підкомплекс розмірності n чи менше. Підкомплекс називається скінченним, якщо він є об'єднанням скінченної кількості клітин.
Відображення між CW-комплексами називається клітинним відображенням, якщо образ n-кістяка комплекса X міститься у n-кістяку комплекса Y.
CW-комплекс часто конструюється шляхом визначення його кістяків індуктивно. Почнемо, взявши за 0-кістяк деякий дискретний простір. Далі приклеїмо 1-клітини до 0-кістяку. Тут 1-клітини приклеюються до точок 0-кістяка неперервним відображенням з одиничних 0-сфер, тобто, . Визначимо 1-кістяк як фактор-простір, отриманий з об'єднання 0-кістяка та 1-клітин ототожненням точок границі 1-клітин фактор-відображенням точок границі 1-клітин в 1-клітини. В загальному випадку, взявши (n − 1)-кістяк і набір замкнених n-клітин, n-клітини приклеюються до (n − 1)-кістяка деяким неперервним відображенням з , і ототожненням шляхом вказання відображень з границі кожної n-клітини у (n − 1)-кістяк. n-кістяк є фактор-простором, отриманим з об'єднання (n − 1)-кістяків і замкнених n-клітин ототожненням кожної точки границі n-клітини з її образом.
Властивості
ред.- Нехай X — CW-комплекс і Y — довільний топологічний простір. Тоді відображення є неперервним тоді і тільки тоді коли неперервними є відображення для всіх і
- Для всіх і множина є підмножиною скінченного підкомплексу у X (а не лише підмножиною скінченного об'єднання відкритих клітин як у пункті 4 означення).
- Кожна лінійна компонента зв'язності CW-комплекса є підкомплексом.
- Зв'язаний CW-комплекс є лінійно зв'язаним.
- Кожна компактна підмножина CW-комплекса міститься у скінченному підкомплексі.
- Якщо X є CW-комплексом і Y — підкомплексом, то фактор-простір X/Y теж є CW-комплексом.
- Якщо всі простори є CW-комплексами то і букет просторів є CW-комплексом, якщо всі виділені точки є 0-клітинами.
- Якщо X і Y є CW-комплексами і або хоча б один із них є локально компактним простором або обидва містять не більш, ніж зліченну кількість клітин, то добуток теж є CW-комплексом. В загальному випадку проте добуток із стандартною топологією не буде CW-комплексом. Тому на декартовому добутку X і Y часто вводять альтернативну слабку топологію при якій підмножина є замкнутою тоді і тільки тоді коли всі множини ,будуть замкнутими у
- Якщо X і Y є CW-комплексами і або хоча б один із них є локально компактним простором або обидва містять не більш, ніж зліченну кількість клітин, то смеш-добуток теж є CW-комплексом. Для загального випадку можна отримати CW-комплекс ввівши топологію похідну від слабкої топології для добутку.
- Якщо X є CW-комплексом і Y — підкомплексом, то виконується властивість абсолютного гомотопного продовження: якщо для будь-якого топологічного простору Z є неперервне відображення і гомотопія для якої то існує також гомотопія для якої і
- Накриваючий простір CW-комплекса є CW-комплексом.
- Теорема Вайтхеда: відображення між CW-комплексами є гомотопною еквівалентністю тоді і тільки тоді коли воно породжує ізоморфізми на усіх групах гомотопій.
- Теорема про клітинне наближення: якщо є неперервним відображенням між CW-комплексами і для деякого підкомплекса у (можливо порожнього) обмеження є клітинним відображенням, то існує таке клітинне відображення , що є гомотопним до відносно
Приклади
ред.- Простір є гомотопічно еквівалентним CW-комплексу (оскільки він є стягуваним) але на ньому неможливо ввести структуру CW-комплексу (оскільки всі CW-комплекси є локально стягуваними).
- Гавайська сережка — приклад топологічного простору, що гомотопно не є еквівалентним ніякому CW-комплексу.
- Ще одним прикладом простору, що не є гомотопно еквівалентним CW-комплексу є підпростір на дійсній прямій елементами якого є числа 0 і із індукованою топологією. Цей підпростір є компактним і кожна його точка є окремою лінійною компонентою. Тоді кожен гомотопно еквівалентний простір має мати нескінченну кількість лінійних компонент. Якщо f є гомотопною еквівалентністю із V на CW-комплекс X, то f(V) буде компактною множиною і тому буде міститися у скінченному підкомплексі. Звідси також f(V) буде підмножиною скінченного об'єднання лінійних компонент X і тому f не може бути гомотопною еквівалентністю.
- Будь-який многогранник природним чином наділяється структурою CW-комплексу, а граф — одновимірного CW-комплексу.
- Якщо X є CW-комплексом, то і його надбудова, редукована надбудова і редукований конус є CW-комплексами.
- N-вимірна сфера допускає клітинну структуру з однією клітиною розмірності 0 і однією n-вимірною клітиною (оскільки n-вимірна сфера є гомеоморфною фактор-простору n-вимірного кулі по її границі). Інше клітинне розбиття використовує той факт, що вкладення «екватора» ділить сферу на дві n-вимірні клітини (верхню і нижню півсфери). За індукцією звідси можна одержати клітинне розбиття n-вимірної сфери з двома клітинами в кожній розмірності від 0 до n, а застосування конструкції прямої границі дозволяє отримати клітинне розбиття сфери .
- Дійсний проективний простір допускає клітинну структуру з однією клітиною в кожній розмірності, а — з однією клітиною в кожній парній розмірності.
- Нескінченновимірний гільбертів простір не є CW-комплексом. Такий простір є простором Бера і тому не є об'єднанням зліченної множини n-кістяків, кожен з яких є замкнутою підмножиною із пустою внутрішністю.
- Грассманіан допускає розбиття на клітини, що називаються клітинами Шуберта.
- Для будь-якого компактного гладкого многовида можна побудувати гомотопічно еквівалентний йому CW-комплекс (наприклад за допомогою функції Морса).
Див. також
ред.Література
ред.- Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
- Lundell, A. T.; Weingram, S. (1970). The topology of CW complexes. Van Nostrand University Series in Higher Mathematics. ISBN 0-442-04910-2.
- Maunder, C. R. F. (1970), Algebraic Topology, London: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-486-69131-4