Грассманіаном в математиці називають множину лінійних підпросторів розмірності k лінійного простору V. Як правило цій множині надається деяка додаткова структура. Зокрема для випадку лінійних просторів над полями дійсних чи комплексних чисел можна ввести природну структуру гладкого многовиду. В цьому випадку також використовується термін многовид Грассмана. Мають широке застосування в лінійній алгебрі, диференціальній і алгебраїчній геометрії, а також в інформатиці, зокрема комп'ютерному баченні. Названі на честь німецького математика Германа Грассмана.

ВизначенняРедагувати

Нехай   є лінійним простором розмірності n над полем  . Грассманіаном   називається множина всіх лінійних підпросторів простору V розмірності k.

Пов'язаним є поняття множини   елементами якої є всі можливі набори k лінійно незалежних векторів. Кожен такий набір однозначно визначає лінійний підпростір розмірності k, тобто елемент грассманіана. Але навпаки кожному підпростору розмірності k відповідають різні елементи  

Ввівши деякий базис   лінійного простору V, кожен вектор однозначно визначається своїми координатами в цьому базисі. Тоді k лінійно незалежних векторів можна ідентифікувати зі стовпцями деякої матриці розмірності n×k, ранг якої рівний k:  

У випадку лінійних просторів над полями дійсних чи комплексних чисел   є гладким многовидом, що називається многовидом Штіфеля.

Топологія на грассманіаніРедагувати

Нехай тепер V — лінійний простір над полем дійсних чисел. Топологію на грассманіані найпростіше визначити через топологію на   через його ідентифікацію з підмножиною множини   Спершу на   існує природна топологія породжена якоюсь із норм матриць (наприклад нормою Фробеніуса).

Множина   є відкритою в цій топології адже є прообразом відкритої множини   щодо неперервного відображення   На   вводиться індукована топологія з топології на  

Якщо тепер   — деякий набір k лінійно незалежних векторів то їх лінійна оболонка   очевидно є елементом   Тому можна визначити відображення   визначене рівністю   Грассмановою топологією називається максимальна топологія для якої це відображення є неперервним. Тобто підмножина   є відкритою у цій топології тоді й лише тоді коли   є відкритою в  .

Властивості топологіїРедагувати

  • Введена таким чином топологія є Гаусдорфовою.
  • Грассманіан із цією топологією є компактним простором.
  • Нехай Q — лінійний підпростір простору V розмірності n - k. Визначимо множину   Дана множина G є відкритою.
Нехай   і   Як і раніше ідентифікуємо A з елементом з   де стовпці матриці є координатами векторів у деякому базисі   Нехай   — матриця стовпцями якої є координати деяких базисних векторів підпростору Q відносно   Очевидно що   тоді й лише тоді коли визначник блокової матриці   не дорівнює нулю. Але зважаючи, що визначник є многочленом від елементів матриці, звідси відразу стає зрозуміло, що при малій зміні елементів у перших k стовпцях він знову не буде рівним нулю. І відповідно підпростір породжений цими зміненими стовпцями матиме нульовий перетин з Q. Тобто якщо   то й деякий окіл A є підмножиною   Звідси випливає, що множина   є відкритою і згідно визначення грассманової топології G теж є відкритою.

Структура гладкого многовидуРедагувати

Як фактор-многовид многовиду ШтіфеляРедагувати

Оскільки   можна визначити як відкриту підмножину   на цій множині природно вводиться структура гладкого многовида. Для   маємо   де  загальна лінійна група. Таким чином   і оскільки   є групою Лі дія якої на   є гладкою, вільною і власною (прообраз компактної множини є компактним), то на   можна ввести структуру фактор-многовиду.

Явний опис картРедагувати

Проте гладку структуру можна ввести і в більш наглядний спосіб. Нехай   і Q лінійний підпростір у V розмірності n - k, такий що   Введемо базис   лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P, а наступні n - k векторів є базисом простору Q.

Нехай   Як вказано вище   є відкритою множиною і очевидно   Тобто   є околом P.

Якщо   то   при чому p = 0 тоді й лише тоді, коли x = 0. Тому можна розглянути два лінійні відображення   і   для яких в попередніх позначеннях  

Лінійне відображення   діє між двома просторами розмірності k і воно є ін'єктивним (  з визначення  ). Звідси випливає, що воно є лінійним ізоморфізмом і існує обернене відображення. Тому можна визначити лінійне відображення  . Для введених раніше базисних векторів йому відповідає деяка матриця   Відображення   задає ізоморфізм між P і P', зокрема стовпці, блокової матриці   задають координати базисних векторів простору P' щодо векторів   Якщо тепер   — дві різні матриці то підпростори визначені   і   очевидно належать   і є різними. Таким чином визначається бієктивне відображення   між   і   Не важко помітити, що воно є гомеоморфним.

Множина   є покриттям простору   локальними картами тобто грассманіан є локально евклідовим простором розмірності k·(n-k).

Для перевірки властивостей гладкого многовида потрібно лише перевірити властивості перехідних відображень.

Нехай   — визначені як і раніше. Також визначимо   і базисні вектори   лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P1, а наступні n - k векторів є базисом простору Q1 і базисні вектори   лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P2, а наступні n - k векторів є базисом простору Q2

Візьмемо тепер   тобто   Маємо  Відповідно стовпці блокової матриці   задають координати базисних векторів простору   щодо   Якщо  матриця переходу від базиса   до базиса   простору V, то стовпці матриці   є координатами тих самих базисних векторів простору   щодо   Перепишемо останню матрицю у блочному виді:   де   Стовпці матриці   є лінійно незалежними. Також лінійно незалежними є стовпці матриці F. Справді довільна лінійна комбінація, яка переводить стовпці матриці F в нуль і не всі коефіцієнти якої рівні нулю, переводить вектори визначені стовпцями   в ненульовий елемент  , що неможливо згідно з означеннями.

З аналогічних до попередніх міркувань маємо   — де X, деяка матриця стовпці якої визначають координати лінійно незалежних векторів у підпросторі   у базисі   З поданої рівності очевидно, що   і, як наслідок  

Тепер можна перевірити тип залежності елементів матриці   від елементів матриці   З рівності   випливає, що коефіцієнти матриць   є афінними функціями від елементів матриці   З формули для оберненої матриці і попереднього випливає, що елементи матриці   є раціональними функціями від елементів   знаменники яких ніколи в   не рівні нулю. Ця ж залежність справедлива і для елементів матриці   Відповідно всі елементи матриці   є гладкими функціями від елементів матриці   тобто всі функції переходу   є гладкими.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати