Зміна базису

У лінійній алгебрі, базис для векторного простору це лінійно незалежна множина для якої цей простір є лінійною оболонкою. Ця стаття здебільшого розглядає скінченно-вимірні векторні простори, але багато теорем мають місце для нескінченно-вимірних векторних просторів. Базис векторного простору розмірності n це множина з n векторів (α₁, …, α_n), які називають базисними векторами, з властивістю, що будь-який вектор цього простору можна представити як унікальну лінійну комбінацію базисних векторів. Матриці переходу операторів також визначені вибраним базисом. Через те, що часто бажано працювати з більше ніж одним базисом для векторного простору, у лінійній алгебрі засадничо важливо бути здатним легко переходити від координатних представлень векторів і операторів в одному базисі до їх тотожних представлень в іншому базисі. Такий перехід називається зміною базису.

Лінійні комбінації однієї базисної множини векторів (фіолетові) формують нові вектори (червоні). Якщо вони лінійно незалежні, то вони утворюють нову базисну множину. Лінійні комбінації, що пов'язують першу множину і другу становлять лінійне відображення, яке називається зміною базису.

Вектор представлено в двох різних базисах (фіолетові і червоні стрілки).

Хоча символ R, що ми його використовуємо нижче може позначати поле дійсних чисел, результати дійсні і, якщо R замінено на будь-яке поле F. Хоча нижче використано термінологію векторних просторів, обговорені результати дійсні і тоді коли R це комутативне кільце а векторний простір повсюдно замінено на вільний R-модуль.

Матриця переходу

Означення

Матрицею переходу в $\ n$-вимірному просторі від базису ${\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$ до базису ${\mathcal {B}}=\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle$ називається квадратна матриця, стовпці якої — координати розкладу векторів $\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle$ у базисі $\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$.

А саме нехай виконуються рівності (де всі коефіцієнти однозначно визначені, бо $\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$ є базисом):

$\mathbf {b} _{1}=\alpha _{11}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{12}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{1n}\mathbf {a} _{n}$

$\mathbf {b} _{2}=\alpha _{21}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{22}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{2n}\mathbf {a} _{n}$

$\cdots$.

$\mathbf {b} _{n}=\alpha _{n1}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{n2}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{nn}\mathbf {a} _{n}.$

Тоді матриця переходу має вигляд:

$B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})={\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{21}&\ldots &\alpha _{n1}\\\alpha _{12}&\alpha _{22}&\ldots &\alpha _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{1n}&\alpha _{2n}&\ldots &\alpha _{nn}\end{pmatrix}}$

Якщо записувати базиси за допомогою вектор-рядків елементами яких є базисні вектори, то можна у матричній формі записати:

$\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle =\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle \cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle {\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{21}&\ldots &\alpha _{n1}\\\alpha _{12}&\alpha _{22}&\ldots &\alpha _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{1n}&\alpha _{2n}&\ldots &\alpha _{nn}\end{pmatrix}}.$

Властивості

• Матрицею переходу від довільного базису ${\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$ до самого себе є одинична матриця.
• Якщо ${\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$, ${\mathcal {B}}=\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle$ і ${\mathcal {C}}=\langle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\ldots ,\mathbf {c} _{n}\rangle$ є трьома базисами одного векторного простору і $B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ є матрицею переходу від ${\mathcal {A}}$ до базису ${\mathcal {B}},$ а $B({\mathcal {B}},{\mathcal {C}})$ є матрицею переходу від базису ${\mathcal {B}}$ до базису ${\mathcal {C}}$, то матриця переходу від ${\mathcal {A}}$ до ${\mathcal {C}}$ є добутком цих матриць:

$B({\mathcal {A}},{\mathcal {C}})=B({\mathcal {B}},{\mathcal {C}})\cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$

• Зокрема із попереднього випливає, що матриця переходу між будь-якими матрицями є невиродженою і матриця зворотного переходу є оберненою до даної матриці переходу:

$B({\mathcal {B}},{\mathcal {A}})=(B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}))^{-1}$.

• Якщо розглядається векторний простір над полем дійсних чисел і базис ${\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$ є ортонормованим щодо деякого скалярного добутку на просторі, то базис ${\mathcal {B}}=\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle$ буде ортонормованим тоді і тільки тоді, коли матриця переходу $B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ буде ортогональною. У випадку комплексних векторних просторів таке саме твердження справедливе для унітарних матриць і ермітових скалярних добутків.

Перетворення координат вектора при зміні базису

Нехай деякий довільний вектор $\mathbf {x}$ виражається через вектори у базисах ${\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$ і ${\mathcal {B}}=\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle$ як

$\mathbf {x} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+\dots +x_{n}\mathbf {a} _{n}=\sum _{i}x_{i}\,\mathbf {a} _{i},$

і

$\mathbf {x} =y_{1}\mathbf {b} _{1}+y_{2}\mathbf {b} _{2}+\dots +y_{n}\mathbf {b} _{n}=\sum _{i}y_{i}\,\mathbf {b} _{i}.$

Ці рівності дозволяють ввести координатні вектор-стовпці і за допомогою матричного добутку і означення матриці переходу записати:

$\mathbf {x} =\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle {\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle \cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}){\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}.$

Із однозначності запису вектора через базис звідси випливає формула перетворення координат при зміні базису:

${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}){\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}.$

Тобто якщо координати деякого вектора у базисі ${\mathcal {B}}$ утворюють вектор стовпець $y$, а у базисі ${\mathcal {A}}$ утворюють вектор стовпець $x$, то

$x=B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})y.$

Важливо помітити зміну порядку у цій формулі. Якщо матриця $B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ визначає перехід від базису ${\mathcal {A}}$ до базису ${\mathcal {B}}$, то формула перетворення координат задає перехід навпаки від координат у базисі ${\mathcal {B}}$ до координат у базисі ${\mathcal {A}}$. Тому матрицю $B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ можна також називати матрицею переходу від координат у базисі ${\mathcal {B}}$ до координат у базисі ${\mathcal {A}}$.

У такій інтерпретації можна також дати означення матриці переходу через матриці лінійного відображення. Стовпцями такої матриці $M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ є координати $T(\mathbf {a} _{i})$ у базисі ${\mathcal {B}}$. Якщо вибрати тотожне лінійне перетворення то стовпцями матриці $M(I;{\mathcal {B}},{\mathcal {A}})$ будуть координати розкладів векторів із ${\mathcal {B}}$ у базисі ${\mathcal {A}}$. Тому

$B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})=M(I;{\mathcal {B}},{\mathcal {A}})$.

Зміна порядку базисів у правій і лівій частині не є помилково.

Приклади

Два виміри

У двовимірному просторі, двійка векторів отриманих обертанням стандартного базису проти годинникової стрілки на 45° є базисом простору. Матриця чиї стовпчики є координатами цих векторів у початковому базисі має вид:

$M={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}$

Якщо ми хочемо перевести будь-який вектор простору в цей базис, нам треба помножити зліва його компоненти на обернену до цієї матрицю, а щоб перевести вектор з координатами у новому базисі у координати стандартного потрібно нові координати помножити на саму матрицю.

Три виміри

Нехай R буде новим базисом заданим за допомогою кутів Ейлера. Матриця цього базису в якості стовпців матиме компоненти кожного з векторів у стандартному базисі. Отже, ця матриця виглядає так (Див. статтю Ейлерові кути):

$\mathbf {R} ={\begin{bmatrix}\mathrm {c} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\gamma }-\mathrm {s} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\beta }\,\mathrm {s} _{\gamma }&-\mathrm {c} _{\alpha }\,\mathrm {s} _{\gamma }-\mathrm {s} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\beta }\,\mathrm {c} _{\gamma }&\mathrm {s} _{\beta }\,\mathrm {s} _{\alpha }\\\mathrm {s} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\gamma }+\mathrm {c} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\beta }\,\mathrm {s} _{\gamma }&-\mathrm {s} _{\alpha }\,\mathrm {s} _{\gamma }+\mathrm {c} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\beta }\,\mathrm {c} _{\gamma }&-\mathrm {s} _{\beta }\,\mathrm {c} _{\alpha }\\\mathrm {s} _{\beta }\,\mathrm {s} _{\gamma }&\mathrm {s} _{\beta }\,\mathrm {c} _{\gamma }&\mathrm {c} _{\beta }\end{bmatrix}}.$

Знов-таки, будь-який вектор простору можна перевести в цей новий базис домножуючи його зліва на обернену до цієї матриці.

Перетворення матриці лінійного відображення при зміні базису

Нехай задані векторні простори $V$ і $W$ над одним полем і для простору $V$ вибрані два базиси ${\mathcal {A}}=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$ і ${\mathcal {A}}'=(\mathbf {a} '_{1},\ldots ,\mathbf {a} '_{n}),$ а у просторі $W$ вибрані два базиси ${\mathcal {B}}=(\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{m})$ і ${\mathcal {B}}'=(\mathbf {b} '_{1},\ldots ,\mathbf {b} '_{m}).$ Нехай $B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')$ і $B({\mathcal {B}},{\mathcal {B}}')$ є відповідними переходами між базисами у двох просторах.

Якщо тепер $T:V\to W$ є лінійним відображенням то у відповідних базисах воно задається матрицями $M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ і $M(T;{\mathcal {A}}',{\mathcal {B}}')$. Якщо $\mathbf {x} \in V$ є довільним вектором, координати якого у базисах ${\mathcal {A}}$ і ${\mathcal {A}}'$ можна записати за допомогою вектор стовпців ${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ і ${\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}$, то $T(\mathbf {x} )$ є вектором простору $W$ координати якого у базисах ${\mathcal {B}},{\mathcal {B}}'$ можна записати за допомогою вектор стовпців ${\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}$ і ${\begin{pmatrix}y'_{1}\\\vdots \\y'_{m}\end{pmatrix}}$.

У цих позначеннях у матричному записі враховуючи означення матриць переходу і лінійного відображення:

${\begin{pmatrix}y'_{1}\\\vdots \\y'_{m}\end{pmatrix}}=B({\mathcal {B}}',{\mathcal {B}})\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}=B({\mathcal {B}}',{\mathcal {B}})\cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=B({\mathcal {B}}',{\mathcal {B}})\cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})\cdot B({\mathcal {A}},{{\mathcal {A}}'})\cdot {\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}.$

Оскільки вказані рівності справедливі для координатних стовпців усіх векторів $\mathbf {x} \in V$, то $B({\mathcal {B}}',{\mathcal {B}})\cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})\cdot B({\mathcal {A}},{{\mathcal {A}}'})$ є однозначно визначеною матрицею відображення $T:V\to W$ у базисах ${\mathcal {A}}'$ і ${\mathcal {B}}'$:

$M(T;{\mathcal {A}}',{\mathcal {B}}')=B({\mathcal {B}}',{\mathcal {B}})\cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})\cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')=(B({\mathcal {B}},{\mathcal {B}}')^{-1}\cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})\cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}').$

Зокрема якщо $V=W$ і $T$ є лінійним перетворенням, то його матриці у базисах ${\mathcal {A}}$ і ${\mathcal {A}}'$ пов'язані співвідношенням:

$M(T;{\mathcal {A}}')=(B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}'))^{-1}\cdot M(T;{\mathcal {A}})\cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')$.

У простіших позначеннях, якщо $A$ є матрицею перетворення у базисі ${\mathcal {A}}$, а $A'$ є матрицею перетворення у базисі ${\mathcal {A}}'$ і $U=B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')$, то:

$A'=U^{-1}AU$.

Матриця білінійної форми

Білінійна форма на векторному просторі V над полем R це відображення V × V → R лінійне щодо обох аргументів. Тобто, B : V × V → R білінійна, якщо відображення

$\mathbf {x} \mapsto B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$

$\mathbf {y} \mapsto B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )$

лінійні для будь-якого y з V. Це визначення також застосовне для модуля над комутативним кільцем і гомоморфізмом модуля в якості лінійного відображення.

Матриця Грама G, що відповідає базису ${\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$ визначена так

$G_{i,j}=B(\mathbf {a} _{i},\mathbf {a} _{j}).$

Якщо $\mathbf {x} =\sum _{i}x_{i}\mathbf {a} _{i}$ і $\mathbf {y} =\sum _{i}y_{i}\mathbf {a} _{i}$ це представлення векторів x, y у цьому базисі, тоді білінійна форма задана так

$B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}G\mathbf {y} .$

Матриця буде симетрична якщо білінійна форма B це симетрична білінійна форма.

Зміна базису

Якщо задано два базиси ${\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$ і ${\mathcal {A}}'=\langle \mathbf {a} '_{1},\mathbf {a} '_{2},\ldots ,\mathbf {a} '_{n}\rangle$, $G$ є матрицею Грама у першому базисі, а $G'$ є матрицею грама у другому базисі, то ці матриці пов'язана співвідношенням із матрицею переходу $B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')$:

$G'=B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')^{\mathsf {T}}\cdot G\cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}').$

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (вид. 5th), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (вид. 2nd), New York: Wiley, LCCN 76091646