Білінійна форма
Біліні́йна фо́рма (білінійний функціонал, білінійна функція) — це таке відображення декартового квадрата векторного простору в скалярне поле , що є лінійним за кожним зі своїх аргументів:
скалярне поле — це, зазвичай, дійсні числа чи комплексні числа .
Білінійна форма називається спряженою до форми і позначається .
Для випадку комплексних чисел цікавішими є півторалінійні форми, що є подібними до білінійних, але є спряжено-лінійними за одним з аргументів.
Скалярний добуток на є прикладом білінійної форми.[1].
Означення білінійної форми можна розширити на модулі над кільцем, де лінійне відображення замінюється гомоморфізмом модулів[en].
Якщо — поле комплексних чисел , тоді часто більш цікавими об'єктами є півторалінійні форми, які подібні до білінійних форм, але за одним з аргументів є лінійно-спряженими[en].
Координатне представлення
ред.Нехай — -вимірний векторний простір з базисом .
Матрицю розмірності , елементи якої визначаються як , називають матрицею білінійної форми у базисі .
- Якщо — матриця представляє вектор у цьому базисі, аналогічно відповідає іншому вектору , то
де — квадратна матриця з елементами .
- Якщо деякий інший базис в , де — невироджена матриця, то
Тоді при переході до нового базису матриця білінійної форми зміниться на конгруентну матрицю:
Відображення у спряжений простір
ред.Будь-яка білінійна форма на просторі визначає пару лінійних відображень з простору у спряжений до нього простір . Визначимо як
Часто ці відображення позначається як
де вказує на слот, в який потрібно помістити аргумент результуючого лінійного функціоналу (див. каррінг).
Для скінченновимірного векторного простору , якщо будь-яке з відображень або є ізоморфізмом, то тоді обидва вони є ізоморфізмами, і білінійну форму називають невиродженою[en]. Більш точніше, для скінченновимірного векторного простору невиродженість означає, що кожен ненульовий елемент нетривіально поєднується з якимсь іншим елементом:
- для усіх передбачає, що i
- для усіх передбачає, що
Відповідне поняття для модуля над комутативним кільцем полягає в тому, що білінійна форма є унімодулярною, якщо відображення є ізоморфізмом. Нехай задано скінченний породжений модуль над комутативним кільцем, утворення пар може бути ін'єктивним (отже, "невиродженим" у наведеному вище розумінні), але не унімодулярним. Наприклад, для цілих чисел утворення пар є невиродженим, але неунімодулярним, оскільки індуковане відображення з на є множенням на 2.
Якщо простір — скінченновимірний, тоді можна ототожнювати простір з двічі спряженим простором . Можна показати, що відображення є транспонуванням[en] лінійного відображення (якщо простір нескінченновимірний, то — транспонування , обмежене образом простору у просторі ). Для заданого відображення можна визначити транспоноване до нього через білінійну форму наступним чином
Лівий і правий радикали білінійної форми є ядрами відображень і , відповідно;[2] вони є векторами, ортогональними до всього простору зліва та справа.[3]
Якщо простір — скінченновимірний, тоді ранг відображення дорівнює рангу відображення . Якщо це значення дорівнює , тоді відображення і є лінійними ізоморфізмами з простору у простір . У цьому випадку білінійна форма є невиродженою. За теоремою про ранг ядра[en] це еквівалентно умові, що лівий та правий радикали будуть тривіальними. Для скінченновимірних просторів це часто приймається як означення невиродженості:
- Означення: Відображення є невиродженим, якщо з умови , яка виконується для всіх , випливає, що .
Для будь-якого лінійного відображення можна отримати білінійну форму у просторі як
Ця форма буде невиродженою тоді і лише тоді, коли відображення є ізоморфізмом.
Якщо простір є скінченновимірним тоді, відносно деякого базису простору , білінійна форма є виродженою тоді і тільки тоді, коли визначник відповідної матриці дорівнює нулю. Аналогічно, невиродженою формою є форма для якої визначник асоційованої матриці ненульовий (матриця є несингулярною). Ці твердження не залежать від вибраного базису. Для модуля над комутативним кільцем унімодулярна форма є формою, для якої визначник асоційованої матриці дорівнює одиниці (наприклад, 1), що і обґрунтовує термінологію. Зауважимо, що форма, визначник якої не дорівнює нулю, але не є одиницею, буде невиродженою, але не унімодулярною, наприклад, форма над полем цілих чисел.
Симетрична, кососиметрична та знакозмінна форми
ред.Визначаємо білінійну форму як
- симетричну[en], якщо для всіх ;
- знакозмінну[en], якщо для всіх ;
- кососиметричну, якщо для всіх .
- Твердження: Будь-яка знакозмінна форма є кососиметричною.
- Доведення: Це можна побачити, розписавши .
Якщо характеристика поля не дорівнює 2, то справедливо і зворотне твердження: кожна кососиметрична форма є знакозмінною. Однак, якщо , то кососиметрична форма є такою ж як симетрична форма, і існують симетричні/кососиметричні форми, які не є знакозмінними.
Білінійна форма є симетричною (відповідно, кососиметричною) тоді і лише тоді, коли її координатна матриця (відносно будь-якого базису) є симетричною (відповідно, кососиметричною). Білінійна форма є знакозмінною тоді і тільки тоді, коли її координатна матриця є кососиметричною, а діагональні елементи дорівнюють нулю (це випливає з кососиметричності при ).
Білінійна форма є симетричною тоді і лише тоді, коли відображення рівні ( ), і кососиметричною тоді і лише тоді, коли вони протилежні за знаком (( ). Якщо , то білінійну форму можна розкласти на симетричну та кососиметричну частини наступним чином:
де — відображення транспоноване до (визначене вище).
-
- Симетрична білінійна форма називається додатновизначеною (від'ємновизначеною), якщо : або .
Додатновизначена білінійна форма задовільняє всі аксіоми скалярного добутку.
Симетрична білінійна форма
ред.Симетричні білінійні форми тісно пов'язані з квадратичними формами.
Симетричну білінійну форму A(x,y), називають полярною до квадратичної форми A(x,x). Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї квадратичної форми в тому ж базисі.
- Маючи білінійну форму (не обов'язково симетричну), отримаємо квадратичну форму як:
- І навпаки, маючи квадратичну форму , використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:
Закон інерції
ред.Похідна квадратична форма
ред.Для будь-якої білінійної форми існує асоційована квадратична форма , визначена як .
Якщо , то квадратична форма визначається симетричною частиною білінійної форми і не залежить від антисиметричної частини. У цьому випадку існує взаємнооднозначна відповідність між симетричною частиною білінійної форми та квадратичною формою, і є сенс говорити про симетричну білінійну форму асоційовану з квадратичною формою.
Якщо і , то такої відповідності між квадратичними формами та симетричними білінійними формами немає.
Рефлексивність та ортогональність
ред.Означення: Білінійна форма називається рефлексивною, якщо із випливає, що і для всіх .
Означення: Нехай — рефлексивна білінійна форма. Вектори , простору є ортогональними відносно , якщо .
Білінійна форма є рефлексивною тоді і лише тоді, коли вона симетрична або кососиметрична.[4] За відсутності рефлексивності нам доводиться розрізняти ліву та праву ортогональність. У рефлексивному просторі лівий і правий радикали співпадають і називаються ядром або радикалом білінійної форми: підпростір усіх векторів, ортогональних з будь-яким іншим вектором. Вектор з матричним представленням знаходиться в радикалі білінійної форми з матричним представленням , тоді і тільки тоді, коли . Радикал — це завжди підпростір простору . Він тривіальний тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена, і, отже, тоді і тільки тоді, коли білінійна форма є невиродженою.
Нехай є підпростором. Визначимо ортогональне доповнення[5] як
Для невироджених білінійної форми на скінченномірному просторі відображення є бієкцією і розмірність ортогонального доповнення дорівнює .
Різні простори
ред.Більша частина теорії доступна для білінійного відображення з двох векторних просторів над тим самим базовим полем у це поле
Тут все ще маємо індуковані лінійні відображення з простору у простір і з простору у простір . Може трапитися так, що ці відображення є ізоморфізмами; припускаючи скінченновимірність, якщо одне є ізоморфізмом, інше також має бути ізоморфізмом. Коли це відбувається, білінійну форму називають досконалим утворюванням пар.
У випадку скінченних розмірностей це еквівалентно тому, що утворювання пар є невиродженим (простори обов'язково мають однакові розмірності). Для модулів (замість векторних просторів), подібно до того як зараз, невироджена форма є слабшою за унімодулярну форму, невироджене утворювання пар є слабшим поняттям ніж досконале утворювання пар. Утворювання пар може бути невиродженим, не будучи досконалим. Наприклад, вигляду є невиродженим, але індукується множення на 2 при відображенні .
Термінологія змінюється при розгляді різних білінійних форм. Наприклад, Ф. Різ Харві обговорює "вісім видів внутрішнього добутку".[6] Для їх визначення він використовує діагональні матриці , що мають лише або для ненульових елементів. Деякі з "внутрішніх добутків" є симплектичними формами, а деякі — півторалінійними формами або ермітовими формами. Замість загального поля розлядаються поля дійсних чисел , комплексних чисел і кватерніонів . Білінійна форма
називається дійсним симетричним випадком і позначається як , де . Потім він формулює зв'язок із традиційною термінологією.[7]
Деякі дійсні симетричні випадки дуже важливі.
Додатно визначений випадок називається евклідовим простором, тоді як випадок одного мінуса, — простором Лоренца.
Якщо , то простір Лоренца також називають простором Мінковського або простором-часом Мінковського.
Частинний випадок будемо називати розщепленим випадком.
Зв'язок з тензорним добутком
ред.Згідно універсальної властивості тензорного добутку існує канонічна відповідність між білінійними формами у просторі і лінійними відображеннями . Якщо є білінійною формою у просторі , то відповідне лінійне відображення визначається як
В іншому напрямку, якщо є лінійним відображенням, то відповідна білінійна форма задається композицією з білінійним відображенням , яка відображає у .
Множина всіх лінійних відображень є спряженим простором для , тому білінійні форми можна розглядати як елементи простору , який (для скінченновимірного простору ) канонічно ізоморфний простору .
Так само симетричні білінійні форми можна розглядати як елементи з (друга симетрична степінь[en] простору ), і знакозмінні білінійні форм як елементи з (друга зовнішня степінь простору ).
На нормованих векторних просторах
ред.- Означення: Білінійна форма на нормованому векторному просторі є обмеженою, якщо існує константа , що для всіх
- Означення: Білінійна форма на нормованому векторному просторі є еліптичною, або коерцитивною[en], якщо існує константа , така, що для всіх
Узагальнення на модулі
ред.Нехай задано кільце і правий -модуль та його спряжений модуль[en] , відображення називається білінійною формою, якщо
для всіх , всіх і всіх .
Відображення відоме як природне утворювання пар[en], яке також називають канонічною білінійною формою на [8].
Лінійне відображення індукує білінійну форму , а лінійне відображення індукує білінійну форму .
І навпаки, білінійна форма індукує -лінійні відображення і . Тут позначає подвійний спряжений модуль для модуля .
Див. також
ред.Джерела
ред.- Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)* Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics, т. 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003
- Bourbaki, N. (1970), Algebra, Springer
- Cooperstein, Bruce (2010), Ch 8: Bilinear Forms and Maps, Advanced Linear Algebra, CRC Press, с. 249—88, ISBN 978-1-4398-2966-0
- Grove, Larry C. (1997), Groups and characters, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-16340-4
- Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl 0288.15002
- Harvey, F. Reese (1990), Chapter 2: The Eight Types of Inner Product Spaces, Spinors and calibrations, Academic Press, с. 19—40, ISBN 0-12-329650-1
- Popov, V. L. (1987), Bilinear form, у Hazewinkel, M. (ред.), Encyclopedia of Mathematics, т. 1, Kluwer Academic Publishers, с. 390—392, архів оригіналу за 24 жовтня 2019, процитовано 6 травня 2021. Also: Білінійна форма, с. 390, на «Google Books»
- Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, т. I (вид. 2nd), ISBN 978-0-486-47189-1
- Milnor, J.; Husemoller, D. (1973), Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, т. 73, Springer-Verlag, ISBN 3-540-06009-X, Zbl 0292.10016
- Porteous, Ian R. (1995), Clifford Algebras and the Classical Groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 50, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55177-9
- Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012), Linear Algebra and Geometry, Springer, ISBN 978-3-642-30993-9, архів оригіналу за 9 листопада 2014, процитовано 6 травня 2021
- Shilov, Georgi E. (1977), Silverman, Richard A. (ред.), Linear Algebra, Dover, ISBN 0-486-63518-X
- Zhelobenko, Dmitriĭ Petrovich (2006), Principal Structures and Methods of Representation Theory, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3731-1
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), form Bilinear form, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Bilinear form на PlanetMath
Примітки
ред.- ↑ Chapter 3. Bilinear forms — Lecture notes for MA1212 (PDF). 16 січня 2021. Архів оригіналу (PDF) за 22 січня 2021. Процитовано 6 травня 2021.
- ↑ Jacobson, 2009, с. 346.
- ↑ Zhelobenko, 2006, с. 11.
- ↑ Grove, 1997.
- ↑ Adkins та Weintraub, 1992, с. 359.
- ↑ Harvey, 1990, с. 22.
- ↑ Harvey, 1990, с. 23.
- ↑ Bourbaki, 1970, с. 233.