Універсальна властивість

У багатьох областях математики корисну конструкцію часто можна розглядати як «найбільш ефективний розв'язок» певної проблеми. Означення універсальної властивості використовує мову теорії категорій, щоб зробити це твердження точним і вивчати його теоретичними методами.

Універсальні властивості багатьох топологічних конструкцій були описані П'єром Самюелем у 1948 році. Пізніше вони активно використовувалися Бурбакі. Тісно пов'язана концепція спряжених функторів була незалежно запропонована Даніелем Каном у 1958 році. Концепція універсальної властивості широко використовується у багатьох областях математики. Розуміння конкретних прикладів є важливим для розуміння абстрактного поняття універсальної властивості. Серед найважливіших прикладів зокрема є: прямий добуток і кодобуток, вільна група, група Гротендіка , компактифікація Стоуна — Чеха, тензорний добуток, пряма границя і обернена границя, ядро і коядро, розшарований добуток і розшарований кодобуток, вирівнювач і ковирівнювач.

МотиваціяРедагувати

Перш ніж давати формальне означення, запропонуємо деяку мотивацію для вивчення подібних конструкцій.

  • Конкретний опис деякої конструкції може бути довгим і складним але якщо конструкція задовольняє універсальну властивість, часто можна забути про деталі її опису; все, що потрібно для виведення основних її властивостей, вже міститься в універсальній властивості. Доведення при цьому часто стають коротшими і більш елегантними, якщо в них використовується універсальна властивість, а не конкретні деталі побудови. Наприклад, тензорну алгебру векторного простору будується в кілька кроків, тоді як з її універсальну властивість використовувати набагато простіше.
  • Універсальної властивості достатньо, щоб визначити об'єкт з точністю до ізоморфізму. Таким чином, з'являється ще один спосіб довести, що два об'єкти ізоморфні, а саме довести, що вони задовольняють однакову універсальну властивість.
  • Універсальні властивості поширені в багатьох областях математики. Вивчивши їх абстрактні властивості, можна отримати інформацію про всі подібні конструкції і уникнути повторення одного і того ж аналізу в кожному конкретному випадку.

Формальне означенняРедагувати

Нехай U: DCфунктор з категорії D в категорію C, а X — об'єкт категорії C. Розглянемо наступні подвійні визначення:

Універсальним морфізмом (або у даному випадку початковим морфізмом чи початковою стрілкою) з X у U називається пара (A, φ), де A — об'єкт категорії D і φ: XU(A) — морфізм у категорії C, такий що виконується початкова властивість:

  • Для будь-якого Y — об'єкта категорії D і f: XU(Y) — морфізма в категорії C , існує єдиний морфізм g: AY такий, що діаграма нижче є комутативною:

Універсальним морфізмом (або у даному випадку термінальним морфізмом або термінальною стрілкою) з U у X називається пара (A, φ), де A — об'єкт категорії D і φ: U(A) → X — морфізм в категорії C, такий що виконується термінальна властивість:

  • Для будь-якого Y — об'єкта категорії D і f: U(Y) → X — морфізма категорії C, існує єдиний морфізм g: YA, такий що діаграма нижче є комутативною:


Означення за допомогою кома категорійРедагувати

Означення універсальних морфізмів можна дати за допомогою ініціальних і термінальних об'єктів кома категорій.

Нехай   є функтором і   — об'єктом категорії  . За означенням кома категорія   є категорією у якій

  • Об'єктами є пари виду , де   є об'єктом категорії  
  • Морфізм із   у   задається морфізмом   у   для якого діаграма нижче комутує:

Припустимо, що   є ініціальним об'єктом у  . Тоді для кожного об'єкта   існує єдиний морфізм   для якого діаграма нижче комутує.

Діаграма з правої сторони є такою ж, як і діаграма в означенні універсального морфізма з   у  . Тому універсальний морфізм із   у   є еквівалентним ініціальному об'єкту кома категорії  .

Натомість кома категорією   є категорія в якій

  • Об'єктами є пари виду   де   є об'єктом категорії  
  • Морфізм із   у   задається морфізмом   у   для якого діаграма нижче комутує:

Нехай   є термінальним об'єктом у  . Тоді для кожного об'єкта   існує єдиний морфізм   для якого діаграма нижче комутує.

Діаграма з правої сторони є такою ж, як і діаграма в означенні універсального морфізма з   у  . Тому універсальний морфізм із   у   є еквівалентним термінальному об'єкту кома категорії  .

ПрикладиРедагувати

Тензорні алгебриРедагувати

Нехай C — категорія векторних просторів над полем K і D — категорія асоціативних алгебр над K. Розглянемо забуваючий функтор

U : K-AlgK-Vect

що зіставляє кожній алгебрі відповідний векторний простір.

Для довільного об'єкта X з K-Vect — векторному простору V — можна отримати його тензорну алгебру T(V). А саме, вона характеризується наступними універсальним властивістю:

«Будь-яке лінійне відображення з V у K-алгебру A може бути єдиним чином продовжено до гомоморфізму алгебр T(V)A

Це твердження описує універсальну властивість тензорної алгебри, тобто той факт, що пара (T(V), i), де i : VT(V) — стандартне вкладення, є початковою стрілкою з векторного простору V у функтор U. Ми отримали функтор T з K-Vect у K-Alg Це означає, що T є лівим спряженим функтором забуваючого функтора U (див. розділ «зв'язок із спряженими функторами»).

ДобуткиРедагувати

Добуток у теорії категорій можна охарактеризувати його універсальним властивістю. А саме: нехай X і Y — об'єкти категорії D, а C — добуток категорій D × D. Визначимо діагональний функтор

Δ : DD × D

як Δ(X) = (X, X) і Δ(f : XY) = (f, f). Тоді якщо (A, φ) - термінальна стрілка з Δ у (X, Y) — об'єкт категорії D × D, то A — об'єкт категорії D, який називається прямим добутком X × Y, а φ — пара проекцій

π1 : X × YX
π2 : X × YY.

ВластивостіРедагувати

Існування і єдиністьРедагувати

Для певної універсальної властивості може не існувати об'єкта, який їй задовольняє. Проте якщо такий (A, φ) існує, то він є єдиним із точністю до єдиного ізоморфізму. Перевіримо це для випадку початкової стрілки: якщо (A′, φ′) — інша така пара, то існує єдиний ізоморфізм k: AA′ такий що φ′ = U(k)φ. Це легко побачити, замінивши (Y, f) з означення початкової властивості на (A′, φ′).

Еквівалентні формулюванняРедагувати

Означення універсальної властивості можна дати багатьма еквівалентними способами. Нехай U — функтор з D у C, X — об'єкт категорії С. Тоді такі формулювання є еквівалентними:

  • (A, φ) — початкова стрілка з X в U
  • (A, φ) — початковий об'єкт категорії коми ( X v U)
  • (A, φ) зображує функтор HomC(X, U—),

Подібно можна дати двоїсті формулювання.

Зв'язок зі спряженими функторамиРедагувати

Нехай (A1, φ1) — початкова стрілка із X1 у U і (A2, φ2) — початкова стрілка з X2 в U. За початковою властивістю будь-якому морфізму h: X1X2 відповідає єдиний морфізм g: A1A2, такий що діаграма нижче є комутативною:

Якщо кожен об'єкт Xi категорії C допускає початкову стрілку в U, то відповідності   і   визначають функтор V з C у D. А відображення φi тоді визначають натуральне перетворення з 1C (тотожний функтор C) у UV . Функтори (V, U) утворюють пару спряжених функторів. Аналогічні твердження є справедливими в двоїстій ситуації термінальних морфізмів з U, у цьому випадку (U, V) будуть парою спряжених функторів.

Насправді всі пари спряжених функторів одержуються із конструкцій такого виду. Нехай F: СD і G: DC — пара спряжених функторів з одиницею η і коодиницею ε (див. Статтю спряжені функтори). Тоді існують універсальні морфізми для кожного об'єкта категорій C і D:

  • Для кожного об'єкта X з C, (F(X), ηX) — початкова стрілка з X у G. Тобто для всіх f: XG(Y) існує єдиний g: F(X) → Y, для якого такі діаграми комутують.
  • Для кожного об'єкта Y ізD , (G(Y), εY) — термінальна стрілка з F у Y. Тобто для всіх g: F(X) → Y існує єдиний f: XG(Y), для якого такі діаграми комутують.

Універсальні конструкції є більш загальними, ніж конструкції спряжених функторів: універсальна конструкція схожа на задачу оптимізації, а пара спряжених функторів визначена, тільки якщо ця задача має розв'язок для всіх об'єктів категорії.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати