Добуток (теорія категорій)

Добуток (категорний добуток) — в теорії категорій це узагальнення таких понять декартів добуток множин, прямий добуток груп і добуток топологічних просторів.

Добуток сімейства об'єктів — це найбільш загальний об'єкт, з якого який існує морфізм до кожного об'єкта сімейства. Добуток об'єктів двоїстий їхньому кодобутку, тобто визначення кодобутків можна отримати з визначення добутку обертанням усіх стрілок.

ВизначенняРедагувати

Якщо X1 та X2 — об'єкти категорії C, тоді об'єкт X є добутком X1 та X2, позначається X1 × X2, якщо він задовільняє універсальну властивість:

існують морфізми π1 : XX1, π2 : XX2 такі, що для кожного об'єкту Y та пари морфізмів f1 : YX1, f2 : YX2 існує єдиний морфізм f : YX такий, що наступна діаграма є комутативною :

Єдиний морфізм f називається добутком морфізмів f1 та f2 і позначається < f1, f2 >. Морфізми π1 та π2 називаються канонічними проєкціями чи морфізмами проєкції.

Добуток більше ніж двох об'єктів визначається для ісімейства об'єктів, яке індексоване множиною I.

Об'єкт X є добутком сімейства об'єктів (Xi)iI якщо існують морфізми πi : XXi, такі, що для кожного об'єкта Y та I-індексованого сімейства морфізмів fi : YXi існує єдиний морфізм f : YX такий, що наступна діаграма є комутативною для всіх iI:

ПрикладиРедагувати

  • У категорії Set прямий добуток A і B — це добуток в сенсі теорії множин  , а пряма сума — диз'юнктне об'єднання  .
  • У категорії Ring пряма сума — це тензорний добуток  , а прямий добуток — сума кілець  .
  • У категорії VectK прямий добуток і пряма сума ізоморфні — це сума векторних просторів  .

ВластивостіРедагувати

...

ДистрибутивністьРедагувати

В категорії із скінченними добутками та кодобутками існує канонічний морфізм X×Y+X×ZX×(Y+Z), тут знак плюс означає кодобуток. Це випливає із існування канонічних проєкцій і вкладень та з комутативності наступної діаграми:

Властивість універсальності для X×(Y+Z) гарантує єдиність морфізму X×Y+X×ZX×(Y+Z). Категорія називається дистрибутивною, якщо у ній цей морфізм є ізоморфізмом.

 

ЛітератураРедагувати

  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
  • И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.