Кодобуток (категорна сума) сімейства об'єктів — узагальнення у теорії категорій для понять диз'юнктного об'єднання множин і топологічних просторів та прямої суми модулів або векторних просторів. Кодобуток сімейства об'єктів — це найбільш загальний об'єкт, у який існує морфізм з кожного об'єкта сімейства. Кодобуток об'єктів двоїстий їхньому добутку, тобто визначення кодобутків можна отримати з визначення добутку згортанням усіх стрілок. Проте, насправді добуток і кодобуток об'єктів разюче відрізняються.

ВизначенняРедагувати

Нехай   — категорія,   — індексоване сімейство її об'єктів. Кодобуток цього сімейства — це такий об'єкт  , разом з морфізмами  , які називаються канонічними вкладеннями або канонічними ін'єкціями (хоча вони не зобов'язані бути ін'єкціями), що для будь-якого   та сімейства морфізмів   існує єдиний морфізм  , такий що  , тобто наступна діаграма комутативна для всіх  :

Кодобуток сімейства   зазвичай позначають

 

або

 

Іноді морфізм   позначають

 

щоб підкреслити його залежність від  .

Кодобуток двох об'єктів зазвичай позначають   або  , тоді діаграма набуває вигляду

Відповідно,   позначають при цьому  ,   або  .

Єдиність результату операції   можна альтернативно виразити як рівність  , справедливу для будь-яких  . [1]

Існує еквівалентне визначення кодобутку. Кодобуток сімейства   — це такий об'єкт  , що для будь-якого об'єкта   функція  , задана як  , бієктивна. [2]

ПрикладиРедагувати

ВластивостіРедагувати

  • Якщо сума об'єктів існує, то вона єдина з точністю до ізоморфізму.
  • Комутативність:  
  • Асоціативність:  
  • Якщо у категорії існує початковий об'єкт  , то  
  • Категорія, в якій визначено добуток будь-яких двох об'єктів і є ініціальний об'єкт, є симетричним моноїдом.

ДистрибутивністьРедагувати

У загальному випадку існує канонічний морфізм  , де плюс позначає кодобуток об'єктів. Це випливає із існування канонічних проекцій і вкладень та з комутативності наступної діаграми:

Властивість універсальності для   гарантує при цьому існування шуканого морфізму. Категорія називається дистрибутивною, якщо у ній цей морфізм є ізоморфізмом.

Матриця перетвореньРедагувати

Будь-який морфізм

 

породжує множину морфізмів

 ,

які задаються за правилом   і називаються матрицею перетворення. В інший бік, будь-яка матриця перетворення   задає єдиний відповідний морфізм   Якщо у категорії існує нульовий об'єкт   для котрого для будь-якого об'єкта   існує єдиний морфізм   і єдиний морфізм  , то матриця перетворення  , яка визначається за правилом

 

називається одиничною матрицею.

Приклад

В категорії скінченновимірних векторних просторів   кодобуток просторів збігається з їхнім добутком і є їхньою прямою сумою. У цьому випадку категорне та звичайне поняття матриці перетворень збігаються, так як будь-який скінченновимірний простір можна розкласти у пряму суму одновимірних. При цьому матриця перетворення усього простору задається шляхом наведення образів відповідних базисних векторів та продовження перетворення на весь простір за лінійністю єдиним чином.

ЛітератураРедагувати

  • С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — [[{{{1}}} (станція метро)|{{{1}}}]]: Физматлит, 2004 [1998].

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Lambek J., Scott P. J. Introduction to Higher-Order Categorical Logic. — Cambridge University Press, 1988. — С. 304.
  2. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М. : «Мир», 1972.