Диз'юнктне об'єднання

Неформально кажучи, диз'юнктне об'єднання — це змінена операція об'єднання множин у теорії множин, яка кожний елемент наділяє індексом множини, з якої цей елемент увійшов у об'єднання.

ПрикладРедагувати

Диз'юнктне об'єднання множин   = {1, 2, 3} і   = {1, 2} обраховується з об'єднання множин:

 

Таким чином

 

ВизначенняРедагувати

Нехай   — сімейство множин, перерахованих індексами з  . Тоді диз'юнктним об'єднанням цього сімейства є множина

 

Елементи диз'юнктного объединання є впорядкованими парами  . Таким чином   є індекс, який показує, з якої множини   елемент увійшов у об'єднання. Кожна з множин   канонічно вкладена у диз'юнктне об'єднання як множина

 

При   множини   и   не мають спільних елементів, навіть якщо  . У виродженому випадку, коли множини   рівні якійсь конкретній  , диз'юнктне об'єднання є декартовим добутком множини   та множини  , тобто

 

ВикористанняРедагувати

Іноді можна зустріти позначення   для диз'юнктного об'єднання двох множин або наступне для сімейства множин:

 

Такий запис означає, що потужність диз'юнктного об'єднання рівна сумі потужностей множин сімейства. Для порівняння, декартовий добуток має потужність, рівну добутку потужностей.

У категорії множин диз'юнктним об'єднанням є пряма сума. Термін диз'юнктне об'єднання також використовується по відношенню об'єднання сімейства множин, які попарно не перетинаються. У цьому випадку диз'юнктне об'єднання позначається, як звичайне об'єднання множин, збігаючись з ним. Таке позначення часто зустрічається в інформатиці. Більш формально, якщо   — це сімейство множин, то

 

є диз'юнктним об'єднанням у розглянутому вище сенсі тоді і тільки тоді, коли за будь-яких   та   з   виконується наступна умова:

 

ЛітератураРедагувати

  • Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М. : Высшая школа, 1979. — С. 132.
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М. : Мир, 1971. — С. 9.
  • Мельников О. В. и др. Общая алгебра: В 2 т. Т. 1. — Наука, 1990. — С. 13. — ISBN 5020144266.

Див. такожРедагувати