Диз'юнктне об'єднання

Неформально кажучи, диз'юнктне об'єднання — це змінена операція об'єднання множин у теорії множин, яка кожний елемент наділяє індексом множини, з якої цей елемент увійшов у об'єднання.

Приклад

Диз'юнктне об'єднання множин $A_{0}$ = {1, 2, 3} і $A_{1}$ = {1, 2} обраховується з об'єднання множин:

${\begin{aligned}A_{0}^{*}&=\{(1,0),(2,0),(3,0)\}\\A_{1}^{*}&=\{(1,1),(2,1)\}.\end{aligned}}$

Таким чином

$A_{0}\sqcup A_{1}=A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}=\{(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1)\}.$

Визначення

Нехай $\{A_{i}|i\in I\}$ — сімейство множин, перерахованих індексами з $I$. Тоді диз'юнктним об'єднанням цього сімейства є множина

$\coprod _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i)|x\in A_{i}\}.$

Елементи диз'юнктного об'єднання є впорядкованими парами $(x,i)$. Таким чином $i$ є індекс, який показує, з якої множини $A_{i}$ елемент увійшов у об'єднання. Кожна з множин $A_{i}$ канонічно вкладена у диз'юнктне об'єднання як множина

$A_{i}^{*}=\{(x,i)|x\in A_{i}\}.$

При $\forall i,j\in I:i\neq j$ множини $A_{i}^{*}$ и $A_{j}^{*}$ не мають спільних елементів, навіть якщо $A_{i}\cap A_{j}\neq \varnothing$. У виродженому випадку, коли множини $A_{i}\forall i\in I$ рівні якійсь конкретній $A$, диз'юнктне об'єднання є декартовим добутком множини $A$ та множини $I$, тобто

$\coprod _{i\in I}A_{i}=A\times I.$

Використання

Іноді можна зустріти позначення $A+B$ для диз'юнктного об'єднання двох множин або наступне для сімейства множин:

$\sum _{i\in I}A_{i}.$

Такий запис означає, що потужність диз'юнктного об'єднання рівна сумі потужностей множин сімейства. Для порівняння, декартовий добуток має потужність, рівну добутку потужностей.

У категорії множин диз'юнктним об'єднанням є пряма сума. Термін диз'юнктне об'єднання також використовується по відношенню об'єднання сімейства множин, які попарно не перетинаються. У цьому випадку диз'юнктне об'єднання позначається, як звичайне об'єднання множин, збігаючись з ним. Таке позначення часто зустрічається в інформатиці. Більш формально, якщо $C$ — це сімейство множин, то

$\bigcup _{A\in C}A$

є диз'юнктним об'єднанням у розглянутому вище сенсі тоді і тільки тоді, коли за будь-яких $A$ та $B$ з $C$ виконується наступна умова:

$A\neq B\implies A\cap B=\varnothing .$

Див. також

• Теорія множин
• Теорія категорій
• Декартовий добуток
• Потужність множини
• Шлях (теорія графів)

Література

• Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М. : Высшая школа, 1979. — С. 132.
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М. : Мир, 1971. — С. 9.
• Мельников О. В. и др. Общая алгебра: В 2 т. Т. 1. — Наука, 1990. — С. 13. — ISBN 5020144266.