Прямий добуток груп

Прямий добуток груп — операція, яка за групами $G$ і $H$ будує нову групу, яку зазвичай позначають як $G\times H$. Ця операція є теоретико-груповим аналогом декартового добутку множин та одним з основних прикладів поняття прямого добутку.

У контексті абелевих груп прямий добуток іноді називають прямою сумою та позначають $G\oplus H$. Прямі суми відіграють важливу роль у класифікації абелевих груп: згідно з теоремою про структуру скінченнопороджених абелевих груп, будь-яку скінченнопороджену абелеву групу можна розкласти в пряму суму циклічних груп.

Визначення

Якщо $G$ і $H$ — групи з операціями $*$ і $\triangle$ відповідно, той прямий добуток $G\times H$ визначається так:

1. Множиною є декартівдобуток, $G\times H$. Його елементами є упорядковані пари $(g,h)$, де $g\in G$ і $h\in H$.
2. Бінарна операція $\cdot$ на $G\times H$ визначається покомпонентно:

   $(g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}*g_{2},h_{1}\triangle h_{2})$

Отриманий алгебричний об'єкт задовольняє аксіомам групи:

Асоціативність бінарної операції

Бінарна операція на $G\times H$ асоціативна, що перевіряється покомпонентно.

Існування одиничного елемента

Прямий добуток має одиничний елемент $1_{G\times H}=(1_{G},1_{H})$, де $1_{G}$ — одиничний елемент $G$ і $1_{H}$ — одиничний елемент $H$.

Існування оберненого елемента

Обернений елемент до елемента $(g,h)$ у $G\times H$ — це пара $(g^{-1},h^{-1})$, де $g^{-1}$ є оберненим до $g$ в $G$, а $h^{-1}$ — оберненим до $h$ в $H$.

Приклади

• Нехай $\mathbb {R}$ — група дійсних чисел із операцією додавання. Тоді прямий добуток $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ — група всіх двокомпонентних векторів $(x,y)$ з операцією додавання векторів:

  $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$.

• Нехай $\mathbb {R^{+}}$ — група додатних дійсних чисел із операцією множення. Тоді прямий добуток $\mathbb {R^{+}} \times \mathbb {R^{+}}$ — група всіх векторів у першій координатній чверті з операцією покомпонентного множення:

  $(x_{1},y_{1})\times (x_{2},y_{2})=(x_{1}\times x_{2},y_{1}\times y_{2})$.

• Нехай $G$ і $H$ — циклічні групи, кожна з яких містить два елементи:

• $G$

  *	1	a
  1	1	a
  a	a	1

• $H$

  *	1	b
  1	1	b
  b	b	1

Тоді прямий добуток $G\times H$ ізоморфний 4-групі Кляйна:

$G\times H$

*	(1,1)	(a,1)	(1, b)	(a, b)
(1,1)	(1,1)	(a,1)	(1, b)	(a, b)
(a,1)	(a,1)	(1,1)	(a, b)	(1, b)
(1, b)	(1, b)	(a, b)	(1,1)	(a,1)
(a, b)	(a, b)	(1, b)	(a,1)	(1,1)

Елементарні властивості

• Порядок прямого добутку $G\times H$ скінченних груп дорівнює добутку порядків цих груп $G$ і $H$:

  $|G\times H|=|G||H|$.

  Це випливає з формули множини декартового добутку множин.
• Порядок кожного елемента $(g,h)$ є найменшим спільним кратним порядків $g$ і $h$:

  $\operatorname {ord} ((g,h))=lcm(\operatorname {ord} (g),\operatorname {ord} (h))$.

  Зокрема, якщо $\operatorname {ord} (g)$ і $\operatorname {ord} (h)$ взаємно прості, то порядок $(g,h)$ дорівнює добутку порядків $g$ і $h$.
• Як наслідок, якщо $G$ і $H$ — циклічні групи, порядки яких є взаємно простими числами, то прямий добуток $G\times H$ також є циклічною групою. А саме, якщо $m$ і $n$ взаємно прості, то

  $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /mn\mathbb {Z}$.

  Цей факт є варіантом китайської теореми про остачі.
• Прямий добуток можна розглядати як операцію на групах. Ця операція комутативна та асоціативна з точністю до ізоморфізму: $G\times H\cong H\times G$ і $(G\times H)\times K\cong G\times (H\times K)$ для любых групп $G$, $H$, і $K$. Тривіальна група є її одиничним елементом із точністю до ізоморфізму, тобто, якщо $E$ — тривіальна група, то $G\cong G\times E\cong E\times G$ для будь-якої групи $G$.

Алгебрична структура

Нехай $G$ і $H$ — групи, а $P=G\times H$. Розглянемо наступні дві підмножини $P$:

$G^{\prime }=\{(g,1):g\in G\}$ і $H^{\prime }=\{(1,h):h\in H\}$.

Обидві ці підмножини є підгрупами $P$, при цьому $G^{\prime }$ канонічно ізоморфна $G$, а $H^{\prime }$ канонічно ізоморфна $H$. Якщо ми ототожнимо їх із $G$ і $H$ відповідно, ми зможемо вважати, що прямий добуток $P$ містить початкові групи $G$ і $H$ як підгрупи.

Зазначені підгрупи мають такі три важливі властивості:

1. Перетин $G\cap H$ тривіальний.
2. Кожен елемент із $P$ можна однозначно подати як добуток елемента з $G$ та елемента з $H$.
3. Кожен елемент із $G$ комутує з кожним елементом із $H$.

Разом ці три властивості повністю визначають алгебричну структуру прямого добутку $P$. Іншими словами, якщо $P$ — будь-яка група, що має підгрупи $G$ і $H$, що задовольняють зазначені вище властивості, то $P$ ізоморфна прямому добутку $G$ і $H$. У цій ситуації $P$ іноді називають внутрішнім прямим добутком її підгруп $G$ і $H$.

У деяких випадках третя з наведених властивостей замінюється такою:

3′. $G$ і $H$ нормальні в $P$.

Ця властивість еквівалентна властивості 3, оскільки елементи двох нормальних підгруп із тривіальним перетином обов'язково комутують, що можна довести, розглядаючи комутатор $[g,h]$, де $g$ — будь-який елемент у $G$, а $h$ — будь-який елемент у $H$.

Приклади внутрішнього прямого добутку

• Нехай $V$ — 4-группа Кляйна:

  V

  ∙	1	a	b	c
  1	1	a	b	c
  a	a	1	c	b
  b	b	c	1	a
  c	c	b	a	1

  Тоді $V$ — внутрішній прямий добуток двоелементних підгруп $\{1,a\}$ і $\{1,b\}$.
• Нехай $\langle a\rangle$ — циклічна група порядку $mn$, де $m$ і $n$ — взаємно прості числа. Тоді $\langle a^{n}\rangle$ і $\langle a^{m}\rangle$ — циклічні підгрупи порядків $m$ і $n$ відповідно, і $\langle a\rangle$ — внутрішній прямий добуток цих підгруп.
• Нехай $\mathbb {C} ^{\times }$ — група ненульових комплексних чисел із операцією множення. Тоді $\mathbb {C} ^{\times }$ є внутрішнім прямим добутком колової групи $\mathbb {T}$, що складається з комплексних чисел із модулем $1$, і групи $\mathbb {R} ^{+}$ додатних дійсних чисел із операцією множення.
• Комплексна повна лінійна група $GL(n,\mathbb {C} )$ — внутрішній прямий добуток спеціальної лінійної групи $SL(n,\mathbb {C} )$ та підгрупи, що складається зі всіх скалярних матриць.
• Якщо $n$ — непарне число, то дійсна повна лінійна $GL(n,\mathbb {R} )$ — внутрішній прямий добуток спеціальної лінійної групи $SL(n,\mathbb {R} )$ і підгрупи, що складається зі всіх скалярних матриць.
• Аналогічно, коли $n$ непарне, ортогональна група $O(n,\mathbb {R} )$ є внутрішнім прямим добутком спеціальної ортогональної групи $SO(n,\mathbb {R} )$ і двоелементної підгрупи $\{-I,I\}$, де $I$ означає одиничну матрицю.
• Група симетрії куба — внутрішній прямий добуток підгрупи обертань куба та двоелементної групи $\{-I,I\}$, де $I$ — одиничний елемент, а $-I$ — точкове відбиття через центр куба. Аналогічний факт справедливий і для групи симетрії ікосаедра.
• Нехай $n$ непарне, і нехай $D_{4n}$ — діедральна група порядку $4n$:

  $D_{4n}=\langle r,s\mid r^{2n}=s^{2}=1,sr=r^{-1}s\rangle .$

  Тоді $D_{4n}$ є внутрішнім прямим добутком підгрупи $\langle r^{2},s\rangle$ (яка ізоморфна $D_{2n}$) і двоелементної підгрупи $\{1,r^{n}\}$.

Задання прямого добутку

Алгебричну структуру $G\times H$ можна використати для задання прямого добутку за допомогою задань $G$ і $H$. Зокрема, припустимо, що

$G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \ \$ і $\ \ H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,$

де $S_{G}$ і $S_{H}$ — (неперетинні) породжувальні множини групи, а $R_{G}$ і $R_{H}$ — множини співвідношень між породжувальними. Тоді

$G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle$

де $R_{P}$ — множина співвідношень, які визначають, що кожен елемент у $S_{G}$ комутує з кожним елементом у $S_{H}$.

Наприклад, якщо

$G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \$ і $\ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle$

то

$G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .$

Нормальна структура

Як згадано вище, підгрупи $G$ і $H$ нормальні в $G\times H$. Зокрема, можна визначити функції $\pi _{G}:G\times H\rightarrow G$ і $\pi _{H}:G\times H\rightarrow H$ формулами

$\pi _{G}(g,h)=g~$ і $~\pi _{H}(g,h)=h$.

Тоді $\pi _{G}$ і $\pi _{H}$ є гомоморфізмами проєкції з ядрами $H$ і $G$ відповідно.

З цього виходить що $G\times H$ — розширення $G$ за допомогою $H$ (або навпаки). У випадку, коли $G\times H$ — скінченна група, композиційні фактори групи $G\times H$ є точно об'єднанням композиційних факторів групи $G$ та композиційних факторів групи $H$.

Інші властивості

Універсальна властивість

Прямий добуток $G\times H$ можна схарактеризувати такою універсальною властивістю. Нехай $\pi _{G}:G\times H\rightarrow G$ і $\pi _{H}:G\times H\rightarrow H$ — гомоморфізм проєкції. Тоді для будь-якої групи $P$ та будь-яких гомоморфізмів $f_{G}:P\rightarrow G$ і $f_{H}:P\rightarrow H$ існує єдиний гомоморфізм $f:P\rightarrow G\times H$, що відповідає такій комутативній діаграмі:

Іншими словами, гомоморфізм $f$ задається формулою

$f(p)=(f_{G}(p),f_{H}(p))$.

Це окремий випадок універсальної властивості для добутків у теорії категорій.

Підгрупи

Якщо $A$ — підгрупа $G$ і $B$ — підгрупа $H$, то прямий добуток $A\times B$ є підгрупою $G\times H$. Наприклад, ізоморфною копією $G$ в $G\times H$ є добуток $G\times \{1\}$, де $\{1\}$ — тривіальна підгрупа $H$.

Якщо $A$ і $B$ нормальні, то $A\times B$ — нормальна підгрупа в $G\times H$. Більш того, фактор-група прямих добутків ізоморфна прямому добутку часток:

$(G\times H)/(A\times B)\cong (G/A)\times (H/B)$.

Зверніть увагу, що, взагалі кажучи, неправда, що кожна підгрупа з $G\times H$ є добутком підгрупи з $G$ та підгрупи з $H$. Наприклад, якщо $G$ — будь-яка нетривіальна група, то добуток $G\times G$ має діагональну підгрупу

$\triangle =\{(g,g):g\in G\}$

яка не є прямим добутком двох підгруп $G$.

Підгрупи прямих добутків описує лема Ґурса́.

Спряженість та централізатори

Два елементи $(g_{1},h_{1})$ і $(g_{2},h_{2})$ спряжені в $G\times H$ тоді й лише тоді, коли $g_{1}$ і $g_{2}$ спряжені в $G$ і одночасно $h_{1}$ і $h_{2}$ спряжені в $H$. Звідси випливає, що кожен клас спряженості в $G\times H$ є декартовим добутком класу спряженості в $G$ і класу спряженості в $H$.

Аналогічно, якщо $(g,h)\in G\times H$, то централізатор $(g,h)$ є добутком централізаторів $g$ і $h$:

$C_{G\times H}(g,h)=C_{G}(g)\times C_{H}(h)$.

Також центр $G\times H$ є добутком центрів $G$ і $H$:

$Z(G\times H)=Z(G)\times Z(H)$.

Нормалізатори поводяться складніше, оскільки всі підгрупи прямих добутків самі розкладаються на прямі добутки.

Автоморфізми та ендоморфізми

Якщо $\alpha$ — автоморфізм $G$, а $\beta$ — автоморфізм $H$, то добуток функцій $\alpha \times \beta :G\times H\rightarrow G\times H$, що визначається формулою

$(\alpha \times \beta )(g,h)=(\alpha (g),\beta (h))$

є автоморфізмом $G\times H$. З цього випливає, що $\operatorname {Aut} (G\times H)$ містить у собі підгрупу, ізоморфну прямому добутку $\operatorname {Aut} (G)\times \operatorname {Aut} (H)$.

У загальному випадку неправда, що кожен автоморфізм $G\times H$ має вищезгаданий вигляд. Наприклад, якщо $G$ — будь-яка група, то існує автоморфізм $\sigma$ групи $G\times G$, який міняє місцями два множники, тобто

$\sigma (g_{1},g_{2})=(g_{2},g_{1})$.

Інший приклад: групою автоморфізмів групи $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ є $GL(2,\mathbb {Z} )$ є група всіх матриць розміру $2\times 2$ зі цілочисельними значеннями та визначником, рівним $\pm 1$. Ця група автоморфізмів нескінченна, але лише скінченна кількість автоморфізмів задаються як $\alpha \times \beta$.

Загалом, кожен ендоморфізм $G\times H$ можна записати у вигляді матриці розміру $2\times 2$

${\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}$

де $\alpha$ — ендоморфізм $G$, $\delta$ — ендоморфізм $H$, а $\beta :H\rightarrow G$ і $\gamma :G\rightarrow H$ — гомоморфізми. Ця матриця повинна мати властивість, що кожен елемент образу $\alpha$ комутує з кожним елементом образу $\beta$, а кожен елемент образу $\gamma$ комутує з кожним елементом образу $\delta$.

Коли $G$ і $H$ — нерозкладні групи з тривіальними центрами, то група автоморфізмів прямого добутку відносно проста: $\operatorname {Aut} (G)\times \operatorname {Aut} (H)$, якщо $G$ і $H$ не ізоморфні, та $\operatorname {Aut} (G)~wr~2$, якщо $G\cong H$, де $wr$ позначає сплетення. Це частина теореми Крулля — Шмідта, в загальному випадку вона справедлива для скінченних прямих добутків.

Узагальнення

Скінченні прямі добутки

Можна знайти прямий добуток більш ніж двох груп одночасно. Для скінченної послідовності груп $G_{1},...,G_{n}$ прямий добуток

$\prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n}$

визначають так:

• Елементами $G_{1}\times \cdots \times G_{n}$ є кортежі $(g_{1},...,g_{n})$, де $g_{i}\in G_{i}$ для будь-якого $i$.
• Операцію на $G_{1}\times \cdots \times G_{n}$ визначають покомпонентно:

  $(g_{1},...,g_{n})(g'_{1},...,g'_{n})=(g_{1}g'_{1},...,g_{n}g'_{n})$.

Він має багато властивостей, які має прямий добуток двох груп, і може бути алгебрично схарактеризованим в аналогічний спосіб.

Нескінченні прямі добутки

Також можна отримати прямий добуток нескінченної кількості груп. Для нескінченної послідовності груп $G_{1},G_{2},...$ його можна визначити так само, як для скінченного прямого добутку, з елементами нескінченного прямого добутку, що є нескінченними кортежами.

У загальнішому сенсі, для індексованого сімейства груп $\{G_{i}\}_{i\in I}$ прямий добуток $\Pi _{i\in I}G_{i}$ визначають так:

• Елементи $\Pi _{i\in I}G_{i}$ це елементи нескінченного декартового добутку множин $G_{i}$; тобто, елементи нескінченного декартового добутку можна розуміти як функції $f:I\rightarrow \bigcup _{i\in I}G_{i}$ з такою властивістю, що $f(i)\in G_{i}$ для будь-якого $i$.
• Добуток двох елементів $f,g$ визначають покомпонентно:

  $(f\cdot g)(i)=f(i)\cdot g(i)$.

На відміну від скінченного прямого добутку, нескінченний прямий добуток $\Pi _{i\in I}G_{i}$ не породжується елементами ізоморфних підгруп $\{G_{i}\}_{i\in I}$. Натомість ці підгрупи породжують підгрупу прямого добутку, відому як нескінченна пряма сума, яка складається з усіх елементів, що мають лише скінченне число неодиничних компонентів.

Інші добутки

Напівпрямі добутки

Нагадаємо, що група $P$ з підгрупами $G$ і $H$ ізоморфна прямому добутку $G$ і $H$, якщо вона задовольняє такі три умови:

1. Перетин $G\cap H$ є тривіальною групою.
2. Кожен елемент із $P$ можна однозначно подати як добуток елемента з $G$ та елемента з $H$.
3. І $G$, і $H$ є нормальними в $P$.

Напівпрямий добуток $G$ і $H$ отримують ослабленням третьої умови, так що тільки одна з двох підгруп $G$, $H$ має бути нормальною. Отриманий добуток, як і раніше, складається з упорядкованих пар $(g,h)$, але з трохи складнішим правилом множення.

Також можна повністю послабити третю умову, не вимагаючи від жодної з підгруп нормальності. У цьому випадку групу $P$ називають добутком Заппи — Сепа груп $G$ і $H$.

Вільні добутки

Вільний добуток груп $G$ і $H$, що зазвичай позначають як $G*H$, схожий на прямий добуток, за винятком того, що підгрупи $G$ і $H$ групи $G*H$ не мусять комутувати. А саме, якщо

$G=\langle ~S_{G}~|~R_{G}~\rangle$ і $H=\langle ~S_{H}~|~R_{H}~\rangle$,

є заданнями $G$ і $H$, то

$G*H=\langle ~S_{G}\cup S_{H}~|~R_{G}\cup R_{H}~\rangle$.

На відміну від прямого добутку елементів вільного добутку не можна представити впорядкованими парами. До того ж вільний добуток будь-яких двох нетривіальних груп нескінченний. Дивно, але вільний добуток є кодобутком у категорії груп.

Підпрямі добутки

Якщо $G$ і $H$ — групи, то підпрямим добутком $G$ і $H$ є будь-яка підгрупа $G\times H$, яка відображається сюр'єктивно в $G$ і $H$ під впливом гомоморфізмів проєкції. Згідно з лемою Ґурса́, кожен підпрямий добуток розшарований.

Розшаровані добутки

Нехай $G$, $H$ і $Q$ — групи, і нехай $\varphi :G\rightarrow Q$ і $\chi :H\rightarrow Q$ — гомоморфізми. Розшарований добуток $G$ і $H$ над $Q$ являє собою таку підгрупу $G\times H$:

$G\times _{Q}H=\{(g,h)\in G\times H:\varphi (g)=\chi (h)\}$.

Якщо $\varphi :G\rightarrow Q$ і $\chi :H\rightarrow Q$ — епіморфізми, то це підпрямий добуток.

Література

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
• Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract algebra (вид. 3rd), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR 1375019.
• Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (вид. 2nd), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR 0356988.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (вид. 3rd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3.
• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6.