Композиційний ряд

Нехай $G$ буде групою і нехай $G_{0},\cdots ,G_{n}$ будуть підгрупами $G$ такими, що

1. $G_{n}=\{1\}$ і $G_{0}=G,$
2. $G_{i+1}\triangleleft G_{i},i=0,\cdots ,n-1$ так, що $G_{i+1}$ є максимальною нормальною підгрупою $G_{i}.$

Тоді ряд

$\{1\}=G_{n}\triangleleft G_{n-1}\triangleleft \cdots \triangleleft G_{0}=G$

називається композиційним рядом $G.$ Фактор-групи $G_{i}/G_{i+1}$ називаються факторами композиційного ряду.

Інший спосіб ствердження, що $G_{i+1}$ є максимальною підгрупою $G_{i}$ такий: $G_{i}/G_{i+1}$ — проста група, $i=0,\cdots ,n-1.$ Це можна побачити за допомогою теореми відповідності. Якщо $G_{i}/G_{i+1}$ — проста, тоді згідно з визначенням вона має лише тривіальні нормальні підгрупи, а саме $G_{i+1}$ і $G_{i}/G_{i+1},$ які точно відповідають підгрупам $G_{i+1}$ і $G_{i}$ в $G_{i},$ що показує, що $G_{i+1}$ — максимальна нормальна підгрупа в $G_{i}.$

Див. також

• Ряд підгруп

Джерела

• Weisstein, Eric W. Композиційний ряд(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)