Централізатор
В абстрактній алгебрі централізатором підмножини групи називається множина елементів , які комутують з кожним елементом . Дане означення також може бути застосоване для інших алгебричних структур, зокрема моноїдів, напівгруп, кілець, алгебр Лі і т. д.
Означення
ред.- Групи і напівгрупи
Централізатором елемента групи (або напівгрупи) називається множина[1]
- .
Для деякої підмножини групи (або напівгрупи) подібним чином можна ввести означення централізатора множини
- .
- Кільця, алгебри, кільця і алгебри Лі
Якщо — кільце або алгебра, а — підмножина кільця, то централізатором називається множина, що є централізатором мультиплікативної напівгрупи кільця.
Якщо — алгебра Лі (або кільце Лі) з добутком Лі [x, y], то централізатор підмножини алгебри рівний [2]
- для всіх
Означення централізаторів для кілець Лі пов'язане з означенням для кілець наступним чином. Якщо — асоціативне кільце, то для можна задати добуток [x, y] = xy — yx. Природно, xy = yx тоді і тільки тоді, коли [x, y] = 0. Якщо ми позначимо множину із цим добутком як , то централізатор кільця у збігається з централізатором кільця Лі множини в .
Властивості
ред.- Напівгрупи
Нехай позначає централізатор множини у деякій напівгрупі. Тоді :
- утворює піднапівгрупуу. Якщо напівгрупа є моноїдом, то централізатор є підмоноїдом.
- .
- Групи [3]
- Централізатор довільної підмножини є підгрупою .
- Із рівності для всіх елементів групи випливає, що одиниця є елементом централізатора для довільної підмножини. Нехай , тоді , тому . Нарешті домноживши рівність де зліва і справа на отримаємо рівність і тому .
- Централізатор завжди є нормальною підгрупою нормалізатора .
- Централізатор очевидно є підгрупою нормалізатора. Нехай тепер . Тоді , де — такий елемент, що і відповідно (існування такого елемента випливає з означення нормалізатора). З одержаної рівності отримуємо , що завершує доведення.
- завжди містить множину , проте не обов'язково містить . Ця властивість має місце лише якщо st = ts для будь-яких і t з множини , зокрема якщо є абелевою підгрупою у .
- Централізатор підмножини є рівним централізатору підгрупи, породженої цією множиною.
- Для довільного елемента групи
- Для довільного елемента групи .
- З принципу симетрії, якщо і є двома підмножинами у , тоді в тому і тільки в тому випадку, коли .
- Для підгрупи групи фактор-група є ізоморфною підгрупі , групі автоморфізмів групи .
- Якщо задати гомоморфізм груп , як , то можна описати в термінах дії групи на : підгрупа , яка фіксує усі елементи є рівною .
- Нехай і є групами, — підгрупа і — гомоморфізм з у . Тоді .
- Якщо також є ізоморфізмом то .
- Якщо є характеристичною підгрупою групи то і є характеристичною підгрупою.
- Якщо є нормальною підгрупою групи то і є нормальною підгрупою.
- Кільця і алгебри Лі [2]
- Централізатори в кільцях і алгебрах є підкільцями і підалгебри, відповідно. Централізатори в кільцях Лі і алгебрах Лі є підкільцями Лі і підалгебрами Лі, відповідно.
- Нормалізатор в кільці Лі містить централізатор .
- містить множину , але не обов'язково збігається з нею.
Примітки
ред.Див. також
ред.Література
ред.- (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
- Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: a graduate course, Graduate Studies in Mathematics, т. 100 (вид. reprint of the 1994 original), Providence, RI: American Mathematical Society, с. xii+516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
- Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, т. 1 (вид. 2), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
- Jacobson, Nathan (1979), Lie algebras, New York: Dover Publications Inc., с. ix+331, ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927
{{citation}}
: Проігноровано невідомий параметр|ed 22 22ition=
(довідка) - Scott, W. R. (1987) [1964], Group Theory, New York: Dover, ISBN 0-486-65377-3