В абстрактній алгебрі централізатором підмножини групи називається множина елементів , які комутують з кожним елементом . Дане означення також може бути застосоване для інших алгебричних структур, зокрема моноїдів, напівгруп, кілець, алгебр Лі і т. д.

Означення

ред.
Групи і напівгрупи

Централізатором елемента   групи (або напівгрупи)   називається множина[1]

 .

Для деякої підмножини   групи (або напівгрупи)   подібним чином можна ввести означення централізатора множини

 .
Кільця, алгебри, кільця і алгебри Лі

Якщо   — кільце або алгебра, а   — підмножина кільця, то централізатором   називається множина, що є централізатором мультиплікативної напівгрупи кільця.

Якщо   — алгебра Лі (або кільце Лі) з добутком Лі [x, y], то централізатор підмножини   алгебри   рівний [2]

  для всіх  

Означення централізаторів для кілець Лі пов'язане з означенням для кілець наступним чином. Якщо   — асоціативне кільце, то для   можна задати добуток [x, y] = xy — yx. Природно, xy = yx тоді і тільки тоді, коли [x, y] = 0. Якщо ми позначимо множину   із цим добутком як  , то централізатор кільця   у   збігається з централізатором кільця Лі множини   в  .

Властивості

ред.
Напівгрупи

Нехай   позначає централізатор множини   у деякій напівгрупі. Тоді :

  •   утворює піднапівгрупуу. Якщо напівгрупа є моноїдом, то централізатор є підмоноїдом.
  •  .
Групи [3]
  • Централізатор довільної підмножини є підгрупою  .
Із рівності   для всіх елементів групи   випливає, що одиниця є елементом централізатора для довільної підмножини. Нехай  , тоді  , тому  . Нарешті домноживши рівність   де   зліва і справа на   отримаємо рівність   і тому  .
Централізатор очевидно є підгрупою нормалізатора. Нехай тепер  . Тоді  , де   — такий елемент, що   і відповідно   (існування такого елемента випливає з означення нормалізатора). З одержаної рівності отримуємо  , що завершує доведення.
  •   завжди містить множину  , проте   не обов'язково містить  . Ця властивість має місце лише якщо st = ts для будь-яких   і t з множини  , зокрема якщо   є абелевою підгрупою у  .
  • Централізатор   підмножини   є рівним централізатору підгрупи, породженої цією множиною.
  • Для довільного елемента групи  
  • Для довільного елемента групи  .
  • З принципу симетрії, якщо   і   є двома підмножинами у  , тоді   в тому і тільки в тому випадку, коли  .
  • Для підгрупи   групи   фактор-група   є ізоморфною підгрупі  , групі автоморфізмів групи  .
  • Якщо задати гомоморфізм груп  , як  , то можна описати   в термінах дії групи   на  : підгрупа  , яка фіксує усі елементи   є рівною  .
  • Нехай   і   є групами,   — підгрупа   і   — гомоморфізм з   у  . Тоді  .
  • Якщо також   є ізоморфізмом то  .
  • Якщо   є характеристичною підгрупою групи   то і   є характеристичною підгрупою.
  • Якщо   є нормальною підгрупою групи   то і   є нормальною підгрупою.
Кільця і алгебри Лі [2]
  • Централізатори в кільцях і алгебрах є підкільцями і підалгебри, відповідно. Централізатори в кільцях Лі і алгебрах Лі є підкільцями Лі і підалгебрами Лі, відповідно.
  • Нормалізатор   в кільці Лі містить централізатор  .
  •   містить множину  , але не обов'язково збігається з нею.

Примітки

ред.

Див. також

ред.

Література

ред.
  • (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
  • Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: a graduate course, Graduate Studies in Mathematics, т. 100 (вид. reprint of the 1994 original), Providence, RI: American Mathematical Society, с. xii+516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
  • Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, т. 1 (вид. 2), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
  • Jacobson, Nathan (1979), Lie algebras, New York: Dover Publications Inc., с. ix+331, ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927 {{citation}}: Проігноровано невідомий параметр |ed 22 22ition= (довідка)
  • Scott, W. R. (1987) [1964], Group Theory, New York: Dover, ISBN 0-486-65377-3