Відкрити головне меню

Загальна лінійна група

(Перенаправлено з Спеціальна лінійна група)

Формальне визначенняРедагувати

Загальною лінійною групою порядку n називається четвірка  , де:

Будь-яка підгрупа загальної лінійної групи називається лінійною групою.

Векторні просториРедагувати

Якщо Vвекторний простір над полем F, то загальною лінійною групою лінійного простру   або   називається група всіх автоморфізмів V, тобто множина всіх бієктивних лінійних відображень   де груповою операцією є композиція відображень .

Якщо простір V має скінченну розмірність  , то   і   ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів V. Якщо   — базис, і автоморфізмів  , маємо

 

для деяких констант  . Матриця, відповідна Т має елементами  .

ВизначникиРедагувати

Матриця є оборотна над полем F, якщо і тільки якщо її визначник відмінний від нуля. Таким чином,   може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником. Для кільця R маємо: матриця над R є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в R. Отже,   може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.

Спеціальна лінійна групаРедагувати

Спеціальною лінійною групою порядку n над полем F називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку n з елементами поля K, визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається  .

ПриміткиРедагувати

  • Ці матриці утворюють групу, так як визначник добутку двох матриць дорівнює добутку їх визначників, і тому множина даних матриць замкнута відносно множення.
  • Спеціальну лінійну групу   можна охарактеризувати як групу лінійних перетворень, що зберігають об'єм і напрям .

Скінченні поляРедагувати

Якщо K є скінченним полем з q елементами, іноді використовується запис  .

ПорядокРедагувати

Порядок групи  

 .

Для прикладу, порядок   рівний (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168. Це група автоморфізмів площини Фано, і групи  

Аналогічні формули для  :

 .

ВластивостіРедагувати

  • Якщо n > 2, то група   не є абелевою.
  •   є нормальною підгрупою  .
  • Нехай   буде мультиплікативною групою поля K, тоді визначник є гомоморфізмом груп:
     .
  •   є напівпростим добутком  

Пов'язані групиРедагувати

Проективна групаРедагувати

Проективна група   і проектні спеціальні лінійні групи   є факторгрупами   і   відносно скалярних матриць.

Афінна групаРедагувати

Афінна група   — розширення   за допомогою групи перенесень. Її можна записати за допомогою напівпростого добутку:

 . Афінна група може також розглядатися як групи всіх афінних перетворень афінного простору.

ЛітератураРедагувати

  • Baker A. Matrix groups, an introduction to Lie groups Springer, 2002 ISBN 1852334703