В абстрактній алгебрі нормалізатором підмножини групи називається множина елементів , які комутують загалом із підмножиною , але не обов'язково з кожним її елементом, як у випадку централізатора. Дане означення також може бути застосоване для інших алгебричних структур,зокрема моноїдів, напівгруп, кілець, алгебр Лі і т. д.

ОзначенняРедагувати

Групи і напівгрупи

Нормалізатором підмножини   в групі (або напівгрупі)   за означенням називається підмножина

 

Означення відрізняється від означення централізатора тим, що в даному випадку не повинно обов'язково бути  , але для кожного   має існувати такий  , що  .

Нормалізатор підмножини   алгебри Лі (або кільця Лі)   задається рівністю [1]

  для всіх  

Хоч це означення є стандартним для терміна «нормалізатор» в алгебрі Лі, слід зауважити, що ця конструкція є фактично ідеалізатором множини   в  .

ВластивостіРедагувати

Групи [2]
  • Нормалізатор довільної множини   є підгрупою  .
  • Централізатор   завжди є нормальною підгрупою нормалізатора  .
  • Якщо   є піднапівгрупою у  , то   містить  .
  • Якщо   є підгрупою  , то найбільша підгрупа, в якій   є нормальною, це  .
  • Індекс нормалізатора   є рівним кількості класів спряженості   для множини  , тобто  .
  • Якщо задати гомоморфізм груп  , як  , то можна описати   в термінах дії групи   на  : стабілізатором   у ( ) є  .
Кільця і алгебри Лі [1]
  • Якщо   — адитивна підгрупа  , то   є найбільшим підкільцем Лі (або підалгеброю Лі), в якій   є ідеалом Лі. [1]
  • Якщо   — підкільце Лі кільця Лі  , то  .

ПриміткиРедагувати

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Isaacs, I. Martin (2009). Algebra: a graduate course. Graduate Studies in Mathematics 100 (вид. reprint of the 1994 original). Providence, RI: American Mathematical Society. с. xii+516. ISBN 978-0-8218-4799-2. MR 2472787. 
  • Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra 1 (вид. 2). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. 
  • Jacobson, Nathan (1979). Lie algebras (вид. republication of the 1962 original). New York: Dover Publications Inc. с. ix+331. ISBN 0-486-63832-4. MR 559927. 
  • Scott, W. R. (1987) [1964]. Group Theory. New York: Dover. ISBN 0-486-65377-3.