Моноїд — це алгебрична структура з бінарною операцією, що є асоціативною та має нейтральний елемент. Стисліше, моноїд — це напівгрупа з нейтральним елементом.

Кубічна ґратка алгебричних структур
від магми до групи.

Якщо для всіх елементів моноїда існує обернений елемент тоді це група.

ВизначенняРедагувати

Моноїд — це множина  , разом із двомісною операцією “ ”, яка задовольняє трьом наступним аксіомам:

Замкнутість
Для всіх  , результат операції   також в  .
Асоціативність
Для всіх  , виконується рівність  .
Нейтральний елемент (одиниця)
Існує елемент   такий, що для всіх елементів  , вірна рівність  .

І в математичному записі ми можемо записати це так

  • Замкнутість:  ,
  • Асоціативність:  ,
  • Нейтральний елемент:   такий, що  .

Символ двомісної операції часто опускається; наприклад, аксіоми моноїда вимагають   і  . Двомісна операція традиційно називається множенням, але може реалізовуватися будь-якою.

Моноїдні структуриРедагувати

ПідмоноїдиРедагувати

Підмоноїдом моноїда   є підмножина N із М, замкнута відносно моноїдної операції і така, що містить нейтральний елемент e із M. В символьному записі, N є підмоноїдом М, якщо  ,   якщо  , і  . В цьому випадку N є моноїдом за двомісною операцією, успадкованою від М.

З іншого боку, якщо N є підмножиною моноїду, замкнутою щодо моноїдної операції, та є моноїдом щодо цієї успадкованої операції, то N не завжди буде підмоноїдом, оскільки нейтральний елемент може бути іншим. Наприклад, синглетон {0} замкнутий щодо алгебраїчного множення, але він не є підмоноїдом (мультиплікативного) моноїду невід’ємних цілих чисел: тут нейтральним елементом буде 1.

ГенераториРедагувати

Підмножина S із М породжує М, якщо найменший підмоноїд М, що містить S, є самим М. Якщо моноїд М може бути породженим скінченною множиною, він називається скінченно породженим моноїдом.

Комутативний моноїдРедагувати

Моноїд, операція якого комутативна, називається комутативним (або, рідше, за аналогією з групами, абелевим). Операцію комутативного моноїда часто позначають як додавання. Будь-який комутативний моноїд наділений алгебраїчним передпорядком  , визначеним так, що  , якщо існує z такий, що  . Порядковою одиницею комутативного моноїда М є такий елемент u із М, що для будь-якого елемента х із М у множині, породженій u, існує елемент v такий, що  . Це часто має місце, коли М є додатним конусом частково впорядкованої абелевої групи G, в цьому випадку u називають порядковою одиницею G.

Частково комутативний моноїдРедагувати

Моноїд, операція якого є комутативною лише для деяких, але не для всіх елементів, називають слідовим моноїдом. Слідові моноїди часто зустрічаються в теорії паралельних обчислень.

ПрикладиРедагувати

  • З 16 можливих двомісних булевих операцій чотири, які мають двобічну ідентичність, є комутативними та асоціативними. Таким чином, будь-яка з них перетворює множину {False, True} на комутативний моноїд. Відповідно до стандартних визначень, AND та XNOR мають одиницею True, а XOR та OR мають одиницею False. Моноїди з AND чи OR також ідемпотентні, тоді як моноїди із XOR та XNOR — ні.
  • Множина натуральних чисел   є комутативним моноїдом щодо операції алгебраїчного додавання (нейтральний елемент 0) або щодо операції алгебраїчного множення (нейтральний елемент 1). Підмоноїд N щодо додавання називають числовим моноїдом.
  • Множина цілих додатних чисел є комутативним моноїдом щодо алгебраїчного множення (нейтральний елемент 1).
  • Якщо задано множину A, множина підмножин A є комутативним моноїдом щодо операції перетину (нейтральним елементом є сама множина A).
  • Якщо задано множину A, множина підмножин A є комутативним моноїдом щодо операції об'єднання (нейтральним елементом є порожня множина).

Див. такожРедагувати