Ідемпотентність

Бенжамін Пірс

Ідемпотентність (лат. idem — такий самий, лат. potens — сильний) — властивість унарних та бінарних операцій в алгебрі та логіці. Термін «ідемпотентність» означає властивість, яка проявляється в тому, що повторна її дія над будь-яким об'єктом уже не змінює результату. Тобто результат повторного використання операцій з об'єктом має такий самий результат як і при першому використанні. Термін запропонував американський математик Бенджамін Пірс в статтях 1870-х років.

ВизначенняРедагувати

  • Унарна операція чи функція називається ідемпотентною, якщо її застосування двічі до будь-якого значення аргументу дає таке ж значення, як і застосування один раз:
 
  • Бінарна операція називається ідемпотентною, якщо для довільного елемента   виконується:
 

Закон ідемпотентності кон'юнкції та диз'юнкціїРедагувати

Закон ідемпотентності — це закон математичної логіки, по якому з логіки виключаються коефіцієнти і показники ступенів.

Закон ідемпотентності можна отримати з закону поглинання, з використанням закону дистрибутивності:

 

Так логічне множення двох висловлювань   рівносильно  , тобто:   і читається так «  і   рівносильно  ».

Закон ідемпотентності відносно диз'юнкції виводиться безпосередньо із закону нуля та одиниці:

 

Логічне додавання двох висловлювань  , рівносильно  , тобто:   і читається так «  або   рівносильно  ».

Формулювання закону: повторення висловлювання через «і» та «або» рівносильне самому висловлюванню. Наприклад, «Марс — планета і Марс — планета» є те ж саме, що «Марс — планета»; « Сонце — зірка або Сонце — зірка» те ж саме, що «Сонце — зірка».

Наслідки ідемпотентності кон'юнкції та диз'юнкціїРедагувати

  • Наслідками ідемпотентності диз'юнкції є рівність

 

  • Наслідками ідемпотентності кон'юнкції є рівність А = АА = ААА = АААА =…

В алгебрі логіки можна обходитися без степенів. Всі «степені» висловлення А рівні самому А (звідси літерний сенс слова «ідемпотентність»).

Приклади ідемпотентних операційРедагувати

  • Об'єднання і перетин множин є ідемпотентними бінарними операціями.
  • Операції булевої алгебри: кон'юнкція та диз'юнкція є ідемпотентними бінарними операціями.
  • Бінарні операції   є ідемпотентними.
  • Операція проектування (знаходження проекції) є ідемпотентною унарною операцією.
  • Звернемо увагу на те, що одну і ту ж імпліканту можна склеїти з іншими імплікантами багаторазово, так як в логіці Джоржа Буля діє закон ідемпотентності:
 
 

тому будь-яку константу можна розмножити

 

Носієм якої є булеан універсальної множини 1, сигнатурою — операції об'єднання  , перетину   та доповнення  . Закон ідемпотентності об'єднання та перетину виконується для операції алгебри Кантора:

 
 
  • Ідемпотентна операція в інформатиці — дія, багаторазове повторення якої призводить до тих же змін, що й при одноразовому.

Прикладом такої операції можуть служити GET- запити в протоколі HTTP. По специфікації сервер повинен повертати одні й ті ж відповіді на ідентичні запити (за умови що ресурс не змінився між ними з інших причин). Така особливість дозволяє кешувати відповіді, знижуючи навантаження на мережу

ЕлементРедагувати

Варіант: Ідемпотентний елемент  — елемент   напівгрупи або кільця, рівний своєму квадрату:  .

  • Ідемпотентний елемент   містить ідемпотентний елемент   (позначається  ), якщо  .
    • Для асоціативних кілець і напівгруп відношення   є відношенням часткового порядку в множині   ідемпотентних елементів і називається природним частковим порядком на множині  .
  • Два ідемпотентних елемента   та   кільця називаються ортогональними, якщо  .

Прикладні прикладиРедагувати

Прикладні приклади, з якими багато людей змогло зіткнутися в їх щоденному житті, включаючи кнопки виклику ліфта і кнопки переходу. Початкова активація кнопки переміщає систему в очікування. Подальші активації кнопки між початковою активацією і запитом, що задовольняється, не мають ніякого ефекту.

Лінійний операторРедагувати

Ідемпотентний лінійний оператор — те саме, що і проектор.

Для простору нескінченної розмірності

 

де σ — спектр A, а P — ідемпотентний оператор.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати