Відкрити головне меню
Рис. 1 Графік побітового виключного «або»

Виключна диз'юнкція, також операція XOR (від англ. eXclusive OR), додавання за модулем два — логічна та бітова операція, що приймає значення «істина» тоді і лише тоді коли значення «істина» має рівно один з її операндів. Виключна диз'юнкція є запереченням логічної еквівалентності. У випадку двох змінних результат виконання операції є істинним тоді і тільки тоді, коли лише один з аргументів є істинним. Для функції трьох і більше змінних результат виконання операції буде істинним тільки тоді, коли аргументів рівних 1 на заданому наборі буде непарна кількість. Така операція природним чином виникає в кільці відрахувань по модулю 2, звідки і походить назва операції.

Додавання за модулем 2 слід відрізняти від простого додавання булевих операндів, яке відповідає звичайному логічному «або», тобто логічній диз'юнкції.

Множиною істинності виключної диз'юнкції двох суджень є симетричною різницею множин істинності операндів.

ПозначенняРедагувати

Запис може бути префіксний («польський запис») — знак операції ставиться перед операндами, інфіксний — знак операції ставиться між операндами і постфіксний — знак операції ставиться після операндів. При числі операндів більше двох префіксний та постфіксний запис економніше інфіксного запису. Найчастіше зустрічаються наступні варіанти запису:


  ^   a ≠ b,  

У таблиці символів Юнікод є символ для додавання за модулем 2 (CIRCLED PLUS) — U +2295 ( ).

Виключну диз'юнкцію деколи задають через інші логічні операції, наприклад:

 
 

Булева алгебраРедагувати

У булевій алгебрі додавання за модулем 2 — це функція двох, трьох і більше змінних (вони ж — операнди, вони ж — аргументи функції). Змінні можуть приймати значення з множин  . Результат також належить множині  . Обчислення результату проводиться по простому правилу, або по таблиці істинності. Замість значень   може використовуватися будь-яка інша пара підходящих символів, наприклад   або   або «хибність», «істина», але при цьому необхідно довизначити старшинство, наприклад,  .

Таблиці істинності:

     
     
     
     
     
Правило: результат дорівнює  , якщо обидва операнди рівні; у всіх інших випадках результат дорівнює  .
X Y Z ⊕(X,Y,Z)
0 0 0 0
1 0 0 1
0 1 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
1 0 1 0
0 1 1 0
1 1 1 1

ВизначенняРедагувати

 
Діаграма Венна для операції  

Таблиця істинності виглядає таким чином:

     
хибність хибність хибність
хибність істина істина
істина хибність істина
істина істина хибність

Результат застосування виключної диз'юнкції такий самий як і від додавання за модулем 2. Тому і саму операцію часто називають додаванням за модулем 2.

Також виключна диз'юнкція є запереченням еквівалентності, тобто

 

Відповідною операцією в теорії множин є симетрична різниця множин.

ВластивостіРедагувати

 
 
 

Абелева групаРедагувати

  • елемент 0 є нейтральним:
 
  • кожен елемент є обернений сам до себе:
 

Таким чином   є абелевою групою. Разом із операцією   також утворюється поле Галуа  .

Інші властивостіРедагувати

 

Функціональна повнотаРедагувати

Множина операцій   є функціонально повною:

 
 
 
 

Виключна диз'юнкція в природних мовахРедагувати

Виключна диз'юнкція найближче відповідає українському «або …, або …». Твердження або А, або В є справедливим, коли справедливе А чи В, але не обоє одночасно.

У природній мові операція «складання по модулю» еквівалентна двом виразами:

  1. «Результат істинний (дорівнює 1), якщо A не дорівнює B (A ≠ B)»;
  2. «Якщо A не дорівнює B (A ≠ B), то істина (1)».

Часто вказують на схожість між додаванням за модулем 2 і конструкцією «або …, або …» в природній мові. Складене твердження «або A, або B» вважається істинним, коли істинне або A, або B, але не обидва відразу, інакше складене твердження хибне. Це в точності відповідає визначенню операції в булевій алгебрі, якщо «істину» позначати як  , а «хибність» як  .

Цю операцію нерідко порівнюють з диз'юнкцією, тому що вони дуже схожі за властивостями, і обидві мають схожість зі сполучником «або» у повсякденній мові. Порівняйте правила для цих операцій:

  1.   істинне, якщо істинне   або  , або обидва відразу.
  2.   істинне, якщо істинне   або  , але не обидва відразу.

Операція   виключає останній варіант («обидва відразу») і з цієї причини називається виключне «АБО». Операція   включає останній варіант («обидва відразу») і з цієї причини іноді називається включне «АБО». Неоднозначність природної мови полягає в тому, що сполучник «або» може застосовуватися в обох випадках.

Альтернативні символиРедагувати

Символ, використовуваний для виключної диз'юнкції варіюється від однієї області застосування до іншої. На додаток до абревіатури «XOR» можуть використовуватися:

  • Знак плюс (+). Це має сенс, тому що математично виключній диз'юнкції відповідає додавання по модулю 2, яке має наступну таблицю:
Додавання за модулем 2
     
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Використання знака «плюс» має додаткову перевагу, що всі звичайні алгебраїчні властивості математичного кільця і поля можуть бути використані без зайвого клопоту. Тим не менш, знак плюс використовується також для ексклюзивної диз'юнкції в деяких позначеннях систем.
  • Знаком плюс, зміненим певним чином, наприклад, взятим в коло ( ). Це використання стикається із запереченням, що цей же символ вже використовується в математиці для прямої суми алгебраїчних структур.
  • Префікс J, як в Jpq.
  • Символ диз'юнкції ( ), який змінюється певним чином: з підкресленням ( ) або з точкою вище ( ).
  • У деяких мовах програмування, таких як C, C++, C#, Java, Perl, MATLAB і Python, символ циркумфлекс (^) використовується для позначення оператора побітового XOR. Це не використовується поза контекстом програмування, тому що це занадто легко сплутати з іншими видами використання каретки.

Виключна диз'юнкція у програмуванніРедагувати

В мовах C/C++ (а також Java, C#, Ruby, PHP, JavaScript, Swift) дана операція позначається символом «^», в мовах Паскаль, Delphi, Ада — зарезервованим словом XOR. Додавання виконується побітово для двох операндів. Наприклад,

якщо
a =  
b =  
тоді
a ^ b =  

Виконання операції виключне"або" для значень логічного типу (true, false) проводиться в різних мовах програмування по-різному. Наприклад, в Delphi (Object Pascal) використовується вбудований оператор XOR (приклад: умова1 xor умова2). У мові C, починаючи зі стандарту C99, оператор «^» над операндами логічного типу повертає результат застосування логічної операції XOR. У C++ оператор «^» для логічного типу bool повертає результат згідно з описаними правилами, для інших же типів виробляється його побітове застосування.

В умовах нестачі регістрів оператор XOR може бути використаний обміну значеннями змінних.

Квантові обчисленняРедагувати

У квантових комп'ютерах аналогом операції додавання по модулю 2 є вентиль CNOT.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

  • Disjunction Stanford Encyclopedia of Philosophy(англ.)