Впорядкована група

Впорядкована група (також частково впорядкована група) в абстрактній алгебрі група G, на якій задано відношення часткового порядку $\geqslant$ таке, що для будь-яких елементів а, b, х, у з G з нерівності $a\geqslant b$ випливає $xay\geqslant xby.$ В залежності від додаткових властивостей відношення часткового порядку розрізняють такі важливі класи впорядкованих груп:

Лінійно впорядковані групи, для яких відношення $\geqslant$ є відношенням лінійного порядку.
Ґратково впорядковані групи, для який відношення порядку є ґраткою.
Спрямовані групи, які задовольняють властивість: $\forall x,y\in G,$ існує такий елемент $z\in G,$ що виконуються нерівності $z\geqslant x,z\geqslant y.$

Додатний конус

Множина $P(G)=\{x\in G|x\geqslant 0\}$ , називається додатним конусом має властивості:

$P(G)\cdot P(G)\subseteq P(G)$
$P(G)\cap P(G)^{-1}=\{1\}$
$x^{-1}P(G)x\subseteq P(G)$

Навпаки, якщо у групі G є множина P, що задовольняє умовам, то G можна перетворити на впорядковану групу взявши, що $y\geqslant x$ тоді і тільки тоді, коли $xy^{-1}\in P.$ Також при цьому $P=P(G).$

Для лінійно впорядкованих груп для додатного конуса додатково справедливим є твердження:

$P(G)\cup P(G)^{-1}=G.$

Для направлених груп крім перших трьох властивостей також виконується:

$P(G)\cdot P(G)^{-1}=G.$

Приклади

адитивна група $(\mathbb {R} ,+)$ дійсних чисел із звичайним порядком є лінійно впорядкованою групою;
група $F(X,\mathbb {R} )$ функцій визначених на множині X, із значеннями в множині дійсних чисел. На цій множині можна визначити операцію поточкового додавання функцій. Відношення часткового порядку на множині цих функцій можна ввести таким чином: $f\geqslant g$ тоді і тільки тоді коли $f(x)\geqslant g(x),\,\forall x\in X.$
група $A(M)$ усіх автоморфізмів лінійно упорядковано] множини M себе є впорядкованою групою, якщо за групову операцію взяти суперпозицію відображень, відношення порядку визначити: $\phi \geqslant \psi ,$ тоді і тільки тоді, коли $\phi (m)\geqslant \psi (m),\,\forall m\in M.$

Випуклі підгрупи і порядковий гомоморфізм

Якщо H підгрупа групи впорядкованої групи G, то H теж буде підгрупою відносно індукованого відношення часткового порядку. Ця підгрупа називається випуклою, якщо для будь-яких елементів $x,y,z\in G,$ для яких $x\geqslant y\geqslant z$ і $x,z\in H,$ також і $y\in H.$

Гомоморфізм $\phi :G\to H,$ що зберігає порядок у групах називається порядковим гомоморфізмом. Гомоморфізм $\phi :G\to H,$ є порядковим тоді і тільки тоді коли $\phi (P(G))\subseteq P(H).$

Ядром порядкового гомоморфізму впорядкованої групи завжди є випукла нормальна підгрупа.

Див. також

Частково впорядкована множина

Література

Кокорин А. И., Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972
Общая алгебра / Под общей редакцией Л.А. Скорнякова — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — Т. 1. — 592 с.
Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.