Впорядкована група

Впорядкована група (також частково впорядкована група) в абстрактній алгебрі група G, на якій задано відношення часткового порядку таке, що для будь-яких елементів а, b, х, у з G з нерівності випливає В залежності від додаткових властивостей відношення часткового порядку розрізняють такі важливі класи впорядкованих груп:

  • Лінійно впорядковані групи, для яких відношення є відношенням лінійного порядку.
  • Ґратково впорядковані групи, для який відношення порядку є ґраткою.
  • Спрямовані групи, які задовольняють властивість: існує такий елемент що виконуються нерівності

Додатний конусРедагувати

Множина  , називається додатним конусом має властивості:

  1.  
  2.  
  3.  

Навпаки, якщо у групі G є множина P, що задовольняє умовам, то G можна перетворити на впорядковану групу взявши, що   тоді і тільки тоді, коли   Також при цьому  

Для лінійно впорядкованих груп для додатного конуса додатково справедливим є твердження:

  •  

Для направлених груп крім перших трьох властивостей також виконується:

  •  

ПрикладиРедагувати

  • адитивна група   дійсних чисел із звичайним порядком є лінійно впорядкованою групою;
  • група   функцій визначених на множині X, із значеннями в множині дійсних чисел. На цій множині можна визначити операцію поточкового додавання функцій. Відношення часткового порядку на множині цих функцій можна ввести таким чином:   тоді і тільки тоді коли  
  • група   усіх автоморфізмів лінійно упорядковано] множини M себе є впорядкованою групою, якщо за групову операцію взяти суперпозицію відображень, відношення порядку визначити:   тоді і тільки тоді, коли  

Випуклі підгрупи і порядковий гомоморфізмРедагувати

Якщо H підгрупа групи впорядкованої групи G, то H теж буде підгрупою відносно індукованого відношення часткового порядку. Ця підгрупа називається випуклою, якщо для будь-яких елементів   для яких   і   також і  

Гомоморфізм   що зберігає порядок у групах називається порядковим гомоморфізмом. Гомоморфізм   є порядковим тоді і тільки тоді коли  

Ядром порядкового гомоморфізму впорядкованої групи завжди є випукла нормальна підгрупа.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Кокорин А. И., Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972
  • Общая алгебра / Под общей редакцией Л.А. Скорнякова — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — Т. 1. — 592 с.
  • Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.