Кон'юнкція

Кон'юнкція (лат. conjangere — об'єднувати) (операція AND) — двомісна операція, що має значення «істина», якщо всі операнди мають значення «істина». Операція передбачає вживання сполучника «і» в логічних висловлюваннях.

AND
Визначення	$ab$
Таблиця істинності	$(1000)$
Логічний вентиль
Нормальні форми
Диз'юнктивна	$ab$
Кон'юнктивна	$ab$
Алгебрична	$ab$
Ґратка Поста
$P_{0}$ (зберігає 0)	Так
$P_{1}$ (зберігає 1)	Так
$M$ (монотонна)	✗
$L$ (лінійна)	✗
$S$ (само-двоїста)	Так

Позначення

And зазвичай виражається з префіксним оператором $K$, або інфіксним оператором. У математичній логіці інфіксний оператор зазвичай $\land$, в електроніці $\cdot$, а в мовах програмування & або and.

Правила усунення

$A$,

$B$.

Отже, $A$ і $B$.

Або в позначенні логічного оператора:

$A$,

$B$

$\vdash A\land B$

Приклад:

Петро любить яблука.

Петро любить сало.

Отже, Петро любить яблука і сало.

Кон'юктивне усунення є іншим класичним дійсним, простим аргументом форми. Інтуїтивно це дає змогу зробити висновок з будь-якої кон'юнкції або елемента цієї кон'юнкції.

$A$ і $B$.

Отже, $A$.

...або навпаки,

$A$ і $B$.

Отже, $B$.

У позначенні логічного оператора:

$A\land B$

$\vdash A$

...або навпаки,

$A\land B$

$\vdash B$

Визначення

Таблиця істинності виглядає так:

$A$	$B$	$A\land B$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Відповідною операцією в теорії множин є перетин множин.

Властивості

• асоціативність

$a\land (b\land c)\equiv (a\land b)\land c$

• комутативність

$a\land b\equiv b\land a$

• дистрибутивність

$a\land (b\lor c)\equiv (a\land b)\lor (a\land c)$

$a\land (b\land c)\equiv (a\land b)\land (a\land c)$

$a\land (b\oplus c)\equiv (a\land b)\oplus (a\land c)$

• ідемпотентність

$a\land a\equiv a$

• монотонність

$(a\rightarrow b)\rightarrow ((c\land a)\rightarrow (c\land b))$

$(a\rightarrow b)\rightarrow ((a\land c)\rightarrow (b\land c))$

Функціональна повнота

Множина операцій $\{\land ,\lnot \}$ є функціонально повною:

$a\lor b\equiv \lnot (\lnot a\land \lnot b)$

$a\rightarrow b\equiv \lnot (a\land \lnot b)$

$a\;|\;b\equiv \lnot (a\land b)$

$a\downarrow b\equiv \lnot a\land \lnot b$

Кон'юнкція в програмуванні

умовне позначення логічного вентиля І (AND)

У комп'ютерному програмуванні і цифровій електроніці високого рівня логічне множення широко представлене інфіксним оператором зазвичай ключовими словами або символами, такими як: AND, алгебраїчне множення, або символ &. Логічні зв'язки часто використовуються для бітових операцій, де 0 відповідає хибі та 1 відповідає істині:

• 0 AND 0  =  0,
• 0 AND 1  =  0,
• 1 AND 0  =  0,
• 1 AND 1  =  1.

Операція може бути застосована і до двох бінарних виразів рівної довжини, приймаючи побітове AND кожної пари бітів на відповідних позиціях. Наприклад:

• 11000110 AND 10100011  =  10000010.

Див. також

• Булева множина
• Правила де Моргана

Література

• Кон'юнкція // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін. — Київ : Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України : Абрис, 2002. — 742 с. — 1000 екз. — ББК 87я2. — ISBN 966-531-128-X.