Ґратка з діленнямалгебраїчна структура в теорії ґраток, що одночасно є ґраткою xy та моноїдом xy, яка дозволяє операції x\z та z/y, що є аналогами ділення чи імплікації, якщо розглядати xy як множення чи кон'юнкцію, відповідно.

Прикладами ґраток з діленням є булеві алгебри, булеві алгебри з діленням, алгебри Гейтінга, MV-алгебри.

Визначення ред.

Ґратка з діленням   така алгебраїчна структура, що:

  1.  ґратка
  2.  моноїд
  3. Для всіх z виконується: існує для кожного x таке найбільше y, та існує для кожного y таке найбільше x, що xyz (властивість ділення).

В (3), таке «найбільше y», залежить від z та x, позначається x\z та називається права частка z по x. Двоїстим поняттям є «найбільший x» позначається z/y та називається ліва частка z по y.

Перепишемо (3) еквівалентно:

3'.  

Для фіксованого x в L, унарні операції x• та x\ є відповідно нижнім та верхнім спряженням в відповідності Галуа на L, дуально це також справедливо і для функцій •y та /y. Тому існує інше визначення, а саме:

 
 

разом з вимогою монотонності xy по x та по y. (З аксіом (3) чи (3') монотонність виводиться, але nen її потрібно вводити окремою аксіомою.) Тепер можна розглядати x• та x\ як псевдообернення чи спряження один до одного, а також •x до /x.

Аксіома монотонності теж може бути записана через нерівність  

І навпаки, нерівність   може бути записана як   чи   Тому перейшовши до визначення ґратки через тотожності отримаємо іншу сигнатуру  

Приклади ред.

Булеві алгебри та алгебри Гейтінга є комутативними ґратками з діленнямв яких xy = xy (тому одиниця множення e збігається з максимальним елементом 1) та обидва ділення x\y та y/x є однією операцією, а саме імплікацією xy.

Див. також ред.

Джерела ред.

  • Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
  • Ward, Morgan, and Robert P. Dilworth (1939) "Residuated lattices," Trans. Amer. Math. Soc. 45: 335-54. Reprinted in Bogart, K, Freese, R., and Kung, J., eds. (1990) The Dilworth Theorems: Selected Papers of R.P. Dilworth Basel: Birkhäuser.