Алгебра Гейтінга

Алгебра Гейтінга — ґратка, що узагальнює Булеву алгебру, названа на честь Аренда Гейтінга. Алгебри Гейтінга постають як моделі інтуіціоністської логіки, логіки в якій закон виключення третього не виконується.

ВизначенняРедагувати

Алгебра Гейтінга H — обмежена ґратка (тобто існують 0 та 1), така що для всіх a,bH існує найбільший елемент xH такий, що

 

Цей елемент є відносним псевдо-доповненням a по відношенню до b, і позначається ab.

Псевдо-доповненням довільного елемента x називається ¬x = (x → 0). Отже, за визначенням, a ∧ ¬a = 0. Хоча, не завжди a ∨ ¬a = 1, як це виконується в Булевій алгебрі.

Доповнена Алгебра Гейтінга — Алгебра Гейтінга, що є доповненою ґраткою.

Алгебраїчне визначенняРедагувати

Алгебра Гейтінга H — обмежена ґратка, з бінарною операцією імплікації, тобто:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.   — дистрибутивний закон.

ПрикладиРедагувати

  • Булева алгебра є алгеброю Гейтінга, в якій імплікація визначена як pq = ¬pq.
  • Лінійно впорядкована множина що є обмеженою ґраткою є алгеброю Гейтінга, де pq дорівнює q, якщо p>q, і 1 в протилежному випадку.
  • Найпростішою алгеброю Гейтінга, що не є Булевою алгеброю є цілком впорядкована множина {0, ½, 1} з імплікацією, визначеною як в прикладі 2. Зауважимо, що не виконується закон виключення третього: ½ ∨ ¬½ = ½.

ВластивостіРедагувати

Загальні властивостіРедагувати

  • На відміну від багатозначної логіки, якщо в алгебрі Гейтінга (чи Булевій алгебрі) для деякого елемента: ¬a = a , тоді алгебра є одноелементною.

Закони де МорганаРедагувати

Один із законів де Моргана в алгебрі Гейтінга виконується без змін:

 

Інший виконується в слабшій формі:

 

ДжерелаРедагувати

  • Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)