Булева алгебра (структура)

Бу́лева а́лгебра — це алгебраїчна структура, що є доповненою дистрибутивною ґраткою, та частина математики яка вивчає подібні структури.

Булева алгебра утворена
підмножинами множини {x,y,z}

Алгебра логіки — застосування алгебраїчних методів і символіки для вивчення логічних відношень і розв'язання логічних задач.

Формальне визначення

Булева алгебра — алгебраїчна структура з двома бінарними операціями:

• $\land$ («meet», «булеве множення») — узагальнення кон'юнкції,
• $\lor$ («join», «булеве додавання») — узагальнення диз'юнкції,

та унарною операцією:

• $\lnot a$ чи $\ {\bar {a}}\;$(«булеве доповнення») — узагальнення заперечення;

що задовільняють такі аксіоми:

$a\lor b=b\lor a,$	$a\land b=b\land a$	(комутативність)
$a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c,$	$a\land (b\land c)=(a\land b)\land c$	(асоціативність)
$(a\lor b)\land b=b,$	$(a\land b)\lor b=b$	(закон поглинання)
$a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c),$	$a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)$	(дистрибутивність)
$(a\lor {\bar {a}})\land b=b,$	$(a\land {\bar {a}})\lor b=b$	(доповнення)

Аксіоми 1,2,3 визначають ґратку.

Аксіоми 1,2,3,4 визначають дистрибутивну ґратку.

Аксіоми 1,2,3,5 визначають доповнену ґратку.

З аксіом випливають такі теореми:

$a\lor a=a,$	$a\land a=a$	(ідемпотентність)
$a\lor {\bar {a}}=b\lor {\bar {b}},$	$a\land {\bar {a}}=b\land {\bar {b}}$

Тобто вирази $a\lor {\bar {a}}$ та $a\land {\bar {a}}$ не залежать від вибору елемента.

Елемент $a\lor {\bar {a}}$ називається булевою одиницею 1, елемент $a\land {\bar {a}}$ називається булевим нулем 0.

$a\lor 0=a,$	$a\land 0=0$
$a\lor 1=1,$	$a\land 1=a$
$\lnot 0=1,$	$\lnot 1=0$
$\lnot (a\lor b)=\lnot a\land \lnot b,$	$\lnot (a\land b)=\lnot a\lor \lnot b$	(правила де Моргана)
$\lnot \lnot a=a$.		(інволюція заперечення)

Над множиною A також визначене бінарне відношення ≤, яке має назву відношення нестрогого порядку та відповідає умовам:

1. x≤x (рефлективність)
2. якщо x≤y та y≤x, то x=y (антисиметричність)
3. якщо x≤y та y≤z, то x≤z (транзитивність)

Замість x≤y можна писати у≥x. Множина з таким відношенням має назву впорядкованої.

Нехай S — підмножина елементів впорядкованої множини A. Елемент a' має назву верхньої (нижньої) границі S, якщо для будь-якого а з S справедливе a ≤ a' (a ≥ a'). Якщо множина усіх верхніх (нижніх) границь множини S містить найменший (найбільший) елемент, то він має назву точної верхньої (точної нижньої) границі і позначається sup S(inf S). Якщо для будь-яких a, b з множини A існують inf (a, b) та sup (a, b), то така множина називається структурою або решіткою. Точна верхня границя такої множини є $a\land b$, точна нижня границя є $a\lor b$.

Зв'язок з булевим кільцем

Кожна булева алгебра еквівалентна булевому кільцю і навпаки:

Операції булевого кільця:

$a+b=(a\land {\neg }b)\lor (b\land {\neg }a)$

$ab=a\land b$

Кожна скінченна булева алгебра ізоморфна алгебрі всіх підмножин скінченної множини (полю множин). Тому число елементів булевої алгебри завжди є ступенем 2.

Аксіоматизація

В 1933 американський математик Едвард Хантінгтон запропонував наступну аксіоматизацію для булевих алгебр:

• комутативність: $a\lor b=b\lor a$
• асоціативність: $a\lor \left(b\lor c\right)=\left(a\lor b\right)\lor c$
• аксіома Хантінгтона: $\neg \left(\neg a\lor b\right)\lor \neg \left(\neg a\lor \neg b\right)=a.$

Герберт Робінс задав питання: чи можна скоротити третю аксіому так, як подано нижче

• аксіома Робінса: $\neg \left(\neg \left(a\lor b\right)\lor \neg \left(a\lor \neg b\right)\right)=a.$

Приклади

Алгебра логіки та алгебра множин є загально-відомими прикладами булевої алгебри.

Алгебра логіки (двійкова алгебра)

Найважливішим прикладом булевої алгебри є булева алгебра з двома елементами — одиничний елемент 1 та нульовий елемент 0. Ця алгебра є фундаментом функціонування цифрових дискретних систем. Операція $\lor$ в такій алгебрі має назву "логічного АБО" (logical OR), операція $\land$ -- "логічного І" (logical AND), а елементам 1 та 0 ставляться у відповідність твердження "істина" (true) та "неправда" (false). Результати цих двох операцій можуть бути зведені в такі таблиці:

$\lor$ 0 1 0 0 1 1 1 1

$\land$ 0 1 0 0 0 1 0 1

Така двійкова алгебра відіграє ключову роль в описі цифрових схем (насамперед це стосується цифрових схем без зворотних зв'язків).

Див. також

• Булева алгебра з двома елементами
• Поле множин
• Вільна булева алгебра

Література

• Філософський словник / за ред. В. І. Шинкарука. — 2-ге вид., перероб. і доп. — К. : Головна ред. УРЕ, 1986.