Відкрити головне меню
Ґратка розбиття множини

Ґратка (або решітка) — частково впорядкована множина, в якій для кожної пари елементів існує супремум та інфімум.

«Ґратко-подібними» структурами є напівґратки, ґратки, булеві алгебри, алгебри Гейтінга.

Всіх їх можна визначити і як алгебраїчні структури, тому теорія ґраток є частиною як теорії порядку, так і універсальної алгебри.

Зміст

НапівґраткаРедагувати

Напівґратка — частково впорядкована множина, в якій визначена операція join (join-напівґратка) або операція meet (meet-напівґратка).

Бінарні операції join та meet, позначаються   та   відповідно; очевидно, що вони є комутативними, асоціативними та ідемпотентними операціями.

Обидві операції є монотонними по відношенню до порядку, тобто:

із   та   випливає   та  

Ґратка є одночасно join-напівґраткою та meet-напівґраткою.

Операцію join також можна визначити як бінарну операцію супремум(x, y), а операцію meet — інфімум(x, y). В такому разі join-напівгратку називають верхньою піврешіткою, а meet-напівгратку відповідно нижньою.[джерело?]

Тому означення:

Ґратка, як алгебраїчна структураРедагувати

 
Дистрибутивна ґратка
всіх дільників числа 60, впорядкованих за подільністю.

Ґратка може бути визначена як алгебраїчна система з двома бінарними операціями (позначаються   та  ), що задовольняють тотожностям:

    (комутативність)
    (асоціативність)
    (закон поглинання)

Із закону поглинання слідує не тільки:

  (ідемпотентність)

але і показується дуальність операцій   та  , що обумовлено дуальністю супремума та інфімума.

 -ґратка — упорядкована множина, що містить точні межі всіх своїх скінченних і обмежених зліченних підмножин[1].

 -ґратка — упорядкована множина, що містить точні межі всіх своїх скінченних зліченних підмножин.

Обмежена ґратка — ґратка, в якій існує найбільший та найменший елемент, позначаються   та   відповідно. Довільну ґратку можна зробити обмеженою, доповнивши її елементами   та  .

Очевидно, що всі скінченні ґратки є обмеженими.

Доповнена ґратка — обмежена ґратка, в якій для кожного елемента a існує доповнення, тобто елемент b такий, що:

 

Дистрибутивна ґратка — ґратка, що задовольняє властивість:

  (дистрибутивність)

Булева алгебра — доповнена дистрибутивна ґратка.

Дистрибутивна напівґратка

Напівґратка теж може бути дистрибутивною: meet-напівґратка є дистрибутивною, якщо для всіх a, b, та x:

Якщо abx тоді існують a' та b' такі, що aa' , bb' та x = a' b' .

Модулярна ґратка — для довільного   виконується  

ВластивостіРедагувати

  • Для довільного   виконується  
це доводиться обчисленням виразу при   та  

ПрикладиРедагувати

 
Діаграма впорядкування за включенням підмножин множини з трьох елементів.
  1. множина всіх підмножин даної множини, впорядкована за включенням;  ;
  2. будь-яка лінійно впорядкована множина; причому якщо  , то  ;
  3. множина всіх підпросторів векторного простору, упорядкованих за включенням, де   — перетин, а   — сума відповідних підпросторів;
  4. множина всіх невід'ємних цілих чисел, упорядкованих за подільністю:  , якщо   для деякого  . Тут   — найменше спільне кратне, а   — найбільший спільний дільник даних чисел;
  5. дійсні функції, визначені на проміжку [0, 1], впорядковані умовою  , якщо   для всіх  . тут
 , де  .

Частковий порядокРедагувати

На ґратці також визначене бінарне відношення ≤, яке має назву відношення нестрогого порядку та відповідає умовам:

Зв'язок між різними визначеннями встановлюється формулами:

ab = sup{a, b}, ab = inf{a, b}.

Та виконанням умови: якщо ab, то: a ∧ b = a, ab = b.

Теорема СтоунаРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Юрачківський А. П. Начала функціонального аналізу і теорії інтеграла. — К., 2012. — 243 с.

ДжерелаРедагувати

  • Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
  • Скорняков Л. А. Элементы теории структур. — М., 1970.
  • Гретцер Г. Общая теория решёток. — М.: Мир, 1982. — 456 с.