Рефлексивне відношення

Властивості бінарних відношень:
$\forall a,b,c\;\in {X}:$

рефлексивність $(aRa)\!$
антирефлексивність $\lnot (aRa)\!$

симетричність $aRb\Rightarrow bRa\!$
асиметричність $aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)$

антисиметричність $aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b$

транзитивність $aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc$
антитранзитивність $aRb\wedge bRc\Rightarrow \lnot (aRc)$

повнота $aRb\vee bRa\!$

В математиці, бінарне відношення R на множині X є рефлексивним якщо для кожного a ∈ X виконується aRa, тобто

$\forall a\in X:\ aRa$

Властивість рефлексивності:

• матриця рефлексивного відношення характеризується тим, що всі елементи головної діагоналі рівні 1;
• граф — тим, що кожна вершина має петлю — дугу (х, х).

Якщо ця умова не виконана ні для якого з елементів множини $X$, тоді відношення $R$ називається антирефлексивним (або іррефлексивним).

Для антирефлексивного відношення:

• в матриці всі елементи головної діагоналі дорівнюють нулю
• граф такого відношення характеризується тим, що не має жодної петлі — немає дуг вигляду (х, х).

Формально антирефлексивність відношення $R$ визначається як:

$\forall a\in X:\ \neg (aRa)$.

Якщо умова рефлексивності виконана не для всіх елементів множини $X$, тоді кажуть, що відношення $R$ нерефлексивне.

Приклади рефлексивних відношень

• $=\!$ "дорівнює"
• $\leq \!$ "менше або дорівнює"
• $\geq \!$ "більше або дорівнює"
• $\subseteq \!$ "є підмножиною або дорівнює"

Приклади відношень, що не є рефлексивними

• $\neq \!$ "не дорівнює"
• $<\!$ "менше"
• $>\!$ "більше"
• $\subset \!$ "є підмножиною"

Див. також

• Корефлексивне відношення

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)