Немає перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще не перевіряли на відповідність правилам проєкту.

Напівпрямий добуток — конструкція в теорії груп, що дозволяє будувати нову групу за двома групами і , і дією групи в просторі групи , що зберігає її групову структуру.

Напівпрямий добуток груп і над звичайно позначається .

Конструкція

ред.

Нехай задана дія групи   на просторі групи   із збереженням її групової структури. Це означає, що задано гомоморфізм   групи   в групу автоморфізмів групи  . Автоморфізм групи  , що відповідає елементу   із   при гомоморфізмі   позначимо  . Як група   — напівпрямий добуток груп   і   над гомоморфізмом   — береться множина   з бінарної операцією  , яка діє за правилом:

  для довільних  ,  .

Властивості

ред.
  1. Групи   і   природно вкладені в  , причому   — нормальна підгрупа в  .
  2. Кожен елемент   однозначно розкладемо у добуток  , де   і   — елементи груп   і   відповідно. (Ця властивість виправдовує назву групи   як напівпрямого добутку груп   і  .)
  3. Задана дія   груп   на групі   збігається з дією   на   спряженнями (в групі  ).

Будь-яка група з властивостями 1-3 ізоморфна групі   (властивість універсальності напівпрямогу добутку груп).

Обґрунтування
  • Асоціативність операції перевіряється безпосередньо. Використовуються співвідношення
  и  .
  • Одиницею групи G служить елемент  , де   и   - одиниці в групах N и H відповідно.
    (Використовується рівність  .)
  • Елемент, обернений до  , рівний  .
    • Для доведення того, що цей елемент є оберненим зліва, використовується рівність  .
  • Відображення   и   є гомоморфними вкладеннями груп N і H в групу G. Їх образи мають єдиний спільний елемент - одиницю групи G.
  • Відображення   є епиморфізмом групи G на групу H з ядром N. Звідси слідує, що група N є нормальною в G.
  • Рівність   дає розклад довільного елемента групи G у добуток елементів n і h з груп N і H відповідно. З цієї ж рівності випливає і єдиність розпаду.
  • Рівність   показує, що дія групи H на N, котра задається гомоморфізмом   співпадає з дією H на N спряженням.
  • Щоб довести універсальну властивість напівпрямого добутку, треба скористатися формулою  .
    З неї випливає, що добуток у групі G с однозначним NH-розкладом (при умові нормальності групи N) повністю визначається правилами множення всередині підгруп N і H и правилами спряження елементів із N елементами із H.

Приклад

ред.

Група   діє на   (розглядається як адитивна група відповідного кільця) чотирма різними способами:

 , де   — фіксований ненульовий елемент  ,  ,  .

Відповідно, на множині   можна ввести 4 структури групи — напівпрямого добутку:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Можна показати, що останні дві групи ізоморфні, а решта — ні, а також, що ці приклади перераховують всі групи порядку 20, що містять елемент порядку 4 (при цьому використовуються теореми Силова).

Подібним чином напівпрямі добутки груп використовуються для класифікації скінченних груп.

Див. також

ред.

Джерела

ред.

Українською

ред.
  • (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

ред.