Відкрити головне меню

Напівпрямий добуток — конструкція в теорії груп, що дозволяє будувати нову групу за двома групами і , і дією групи в просторі групи , що зберігає її групову структуру.

Група (математика)
Rubik's cube.svg
Теорія груп

Напівпрямий добуток груп і над звичайно позначається .

КонструкціяРедагувати

Нехай задана дія групи   на просторі групи   із збереженням її групової структури. Це значить, що задано гомоморфізм   групи   в групу автоморфізмів групи  . Автоморфізм групи  , що відповідає елементу   із   при гомоморфізмі   позначимо  . Як група   — напівпрямий добуток груп   і   над гомоморфізмом   — береться множина   з бінарної операцією  , яка діє за правилом:

  для довільних  ,  .

ВластивостіРедагувати

  1. Групи   і   природно вкладені в  , причому   — нормальна підгрупа в  .
  2. Кожен елемент   однозначно розкладемо у добуток  , де   і   — елементи груп   і   відповідно. (Ця властивість виправдовує назву групи   як напівпрямого добутку груп   і  .)
  3. Задана дія   груп   на групі   збігається з дією   на   спряженнями (в групі  ).

Будь-яка група з властивостями 1-3 ізоморфна групі   (властивість універсальності напівпрямогу добутку груп).

ПрикладРедагувати

Група   діє на   (розглядається як адитивна група відповідного кільця) чотирма різними способами:

 , де   — фіксований ненульовий елемент  ,  ,  .

Відповідно, на множині   можна ввести 4 структури групи - напівпрямого добутку:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Можна показати, що останні дві групи ізоморфні, а решта - ні, а також, що ці приклади перераховують всі групи порядку 20, що містять елемент порядку 4 (при цьому використовуються теореми Силова).

Подібним чином півпрямі дубуткі груп використовується взагалі для класифікації кінцевих груп.

ЛітератураРедагувати