Напівпрямий добуток

Напівпрямий добуток — конструкція в теорії груп, що дозволяє будувати нову групу за двома групами $H$ і $N$, і дією $\phi$ групи $H$ в просторі групи $N$, що зберігає її групову структуру.

Група (математика)

Теорія груп

Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Факторгрупа (напів-)Прямий добуток Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедральна група Dn Знакозмінна група An 4-група Клейна Групи Матьйо M11 • M12 • M22 • M23 • M24 Групы Конвея Co1 • Co2 • Co3 Групы Янко J1 • J2 • J3 • J4 Групы Фішера F22 • F23 • F24 Монстр (М) Топологічні групи Група Лі Ортогональна група O(n) Спеціальна унітарна група SU(n) G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Група Лоренца Група Пуанкаре

Напівпрямий добуток груп $N$ і $H$ над $\phi$ звичайно позначається $N\rtimes _{\phi }H$.

Конструкція

Нехай задана дія групи $H$ на просторі групи $N$ із збереженням її групової структури. Це значить, що задано гомоморфізм $\phi :H\rightarrow {\mbox{Aut}}(N)$ групи $H$ в групу автоморфізмів групи $N$. Автоморфізм групи $N$, що відповідає елементу $h$ із $H$ при гомоморфізмі $\phi$ позначимо $\phi _{h}$. Як група $G$ — напівпрямий добуток груп $H$ і $N$ над гомоморфізмом $\phi$ — береться множина $N\times H$ з бінарної операцією $*$, яка діє за правилом:

$(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}\phi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})$ для довільних $n_{1},n_{2}\in N$, $h_{1},h_{2}\in H$.

Властивості

1. Групи $H$ і $N$ природно вкладені в $G$, причому $N$ — нормальна підгрупа в $G$.
2. Кожен елемент $g\in G$ однозначно розкладемо у добуток $g=nh$, де $h$ і $n$ — елементи груп $H$ і $N$ відповідно. (Ця властивість виправдовує назву групи $G$ як напівпрямого добутку груп $H$ і $N$.)
3. Задана дія $\phi$ груп $H$ на групі $N$ збігається з дією $H$ на $N$ спряженнями (в групі $G$).

Будь-яка група з властивостями 1-3 ізоморфна групі $G$ (властивість універсальності напівпрямогу добутку груп).

Обґрунтування  

• Асоціативність операції перевіряється безпосередньо. Використовуються співвідношення

$\phi _{h_{1}}\circ \phi _{h_{2}}(n)=\phi _{h_{1}h_{2}}(n)$ и $\,\phi _{h}(n_{1})\phi _{h}(n_{2})=\phi _{h}(n_{1}n_{2})$.

• Одиницею групи G служит елемент $\,(1_{N},1_{H})$, где $1_{N}$ и $1_{H}$ - единицы в группах N и H соответственно.
  (Используется равенство $\phi _{1_{H}}(n)=n$.)
• Элемент, обратный к $\,(n,h)$, равен $(\,\phi _{h}^{-1}(n^{-1}),h^{-1})$.
  • Для доказательства того, что этот элемент обратен слева, используется равенство $\phi _{h}^{-1}(n^{-1})=\phi _{h^{-1}}(n)^{-1}$.
• Відображення $n\to (n,1_{H})$ и $h\to (1_{N},h)$ гомоморфно вкладывают группы N и H в группу G. Их образы имеют единственный общий элемент - единицу группы G.
• Відображення $(n,h)\to h$ есть эпиморфизм группы G на группу H с ядром N. Отсюда следует, что группа N нормальна в G.
• Рівність $\,(n,h)=(n,1)*(1,h)$ дає розклад довільного елемента групи G у добуток елементів n і h з груп N і H відповідно. З цієї ж рівності випливає і єдиність розпаду.
• Рівність $(\phi _{h}(n),1)=(1,h)(n,1)(1,h)^{-1}$ показиває, що дія групи H на N, задаваемое гомоморфизмом $\phi$ совпадает с действием H на N сопряжениями.
• Щоб довести універсальну властивість напівпрямого добутку, треба скористатися формулою $(n_{1}h_{1})\cdot (n_{2}h_{2})=n_{1}(h_{1}n_{2}h_{1}^{-1})\cdot (h_{1}h_{2})$.
  З неї випливає, що добуток у групі G с однозначным NH-разложением (при умові нормальності групи N) повністю визначається правилами множення внутри подгрупп N і H и правилами спряження елементів із N елементами із H.

Приклад

Група $\mathbb {Z} _{4}$ діє на $\mathbb {Z} _{5}$ (розглядається як адитивна група відповідного кільця) чотирма різними способами:

$\phi _{h}(n)=a^{h}n$, де $a$ — фіксований ненульовий елемент $\mathbb {Z} _{5}$, $h\in \mathbb {Z} _{4}$, $n\in \mathbb {Z} _{5}$.

Відповідно, на множині $\mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{4}$ можна ввести 4 структури групи - напівпрямого добутку:

1. $(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+n_{2},h_{1}+h_{2})\,$
2. $(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+(-1)^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})$
3. $(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+2^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})$
4. $(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+3^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})$

Можна показати, що останні дві групи ізоморфні, а решта - ні, а також, що ці приклади перераховують всі групи порядку 20, що містять елемент порядку 4 (при цьому використовуються теореми Силова).

Подібним чином півпрямі дубуткі груп використовується взагалі для класифікації кінцевих груп.

Література

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва : Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.(рос.)