Напівпрямий добуток
Напівпрямий добуток — конструкція в теорії груп, що дозволяє будувати нову групу за двома групами і , і дією групи в просторі групи , що зберігає її групову структуру.
Напівпрямий добуток груп і над звичайно позначається .
КонструкціяРедагувати
Нехай задана дія групи на просторі групи із збереженням її групової структури. Це значить, що задано гомоморфізм групи в групу автоморфізмів групи . Автоморфізм групи , що відповідає елементу із при гомоморфізмі позначимо . Як група — напівпрямий добуток груп і над гомоморфізмом — береться множина з бінарної операцією , яка діє за правилом:
- для довільних , .
ВластивостіРедагувати
- Групи і природно вкладені в , причому — нормальна підгрупа в .
- Кожен елемент однозначно розкладемо у добуток , де і — елементи груп і відповідно. (Ця властивість виправдовує назву групи як напівпрямого добутку груп і .)
- Задана дія груп на групі збігається з дією на спряженнями (в групі ).
Будь-яка група з властивостями 1-3 ізоморфна групі (властивість універсальності напівпрямогу добутку груп).
- Асоціативність операції перевіряється безпосередньо. Використовуються співвідношення
- и .
- Одиницею групи G служит елемент , где и - единицы в группах N и H соответственно.
(Используется равенство .) - Элемент, обратный к , равен .
- Для доказательства того, что этот элемент обратен слева, используется равенство .
- Відображення и гомоморфно вкладывают группы N и H в группу G. Их образы имеют единственный общий элемент - единицу группы G.
- Відображення есть эпиморфизм группы G на группу H с ядром N. Отсюда следует, что группа N нормальна в G.
- Рівність дає розклад довільного елемента групи G у добуток елементів n і h з груп N і H відповідно. З цієї ж рівності випливає і єдиність розпаду.
- Рівність показиває, що дія групи H на N, задаваемое гомоморфизмом совпадает с действием H на N сопряжениями.
- Щоб довести універсальну властивість напівпрямого добутку, треба скористатися формулою .
З неї випливає, що добуток у групі G с однозначным NH-разложением (при умові нормальності групи N) повністю визначається правилами множення внутри подгрупп N і H и правилами спряження елементів із N елементами із H.
ПрикладРедагувати
Група діє на (розглядається як адитивна група відповідного кільця) чотирма різними способами:
- , де — фіксований ненульовий елемент , , .
Відповідно, на множині можна ввести 4 структури групи - напівпрямого добутку:
Можна показати, що останні дві групи ізоморфні, а решта - ні, а також, що ці приклади перераховують всі групи порядку 20, що містять елемент порядку 4 (при цьому використовуються теореми Силова).
Подібним чином півпрямі дубуткі груп використовується взагалі для класифікації кінцевих груп.
ЛітератураРедагувати
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва : Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.(рос.)