Напівпрямий добуток

Напівпрямий добуток — конструкція в теорії груп, що дозволяє будувати нову групу за двома групами $H$ і $N$, і дією $\phi$ групи $H$ в просторі групи $N$, що зберігає її групову структуру.

Напівпрямий добуток груп $N$ і $H$ над $\phi$ звичайно позначається $N\rtimes _{\phi }H$.

Конструкція

Нехай задана дія групи $H$ на просторі групи $N$ із збереженням її групової структури. Це означає, що задано гомоморфізм $\phi :H\rightarrow {\mbox{Aut}}(N)$ групи $H$ в групу автоморфізмів групи $N$. Автоморфізм групи $N$, що відповідає елементу $h$ із $H$ при гомоморфізмі $\phi$ позначимо $\phi _{h}$. Як група $G$ — напівпрямий добуток груп $H$ і $N$ над гомоморфізмом $\phi$ — береться множина $N\times H$ з бінарної операцією $*$, яка діє за правилом:

$(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}\phi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})$ для довільних $n_{1},n_{2}\in N$, $h_{1},h_{2}\in H$.

Властивості

1. Групи $H$ і $N$ природньо вкладені в $G$, причому $N$ — нормальна підгрупа в $G$.
2. Кожен елемент $g\in G$ однозначно розкладемо у добуток $g=nh$, де $h$ і $n$ — елементи груп $H$ і $N$ відповідно. (Ця властивість виправдовує назву групи $G$ як напівпрямого добутку груп $H$ і $N$.)
3. Задана дія $\phi$ груп $H$ на групі $N$ збігається з дією $H$ на $N$ спряженнями (в групі $G$).

Будь-яка група з властивостями 1-3 ізоморфна групі $G$ (властивість універсальності напівпрямогу добутку груп).

Обґрунтування  

• Асоціативність операції перевіряється безпосередньо. Використовуються співвідношення

$\phi _{h_{1}}\circ \phi _{h_{2}}(n)=\phi _{h_{1}h_{2}}(n)$ и $\,\phi _{h}(n_{1})\phi _{h}(n_{2})=\phi _{h}(n_{1}n_{2})$.

• Одиницею групи G служить елемент $\,(1_{N},1_{H})$, де $1_{N}$ и $1_{H}$ - одиниці в групах N и H відповідно.
  (Використовується рівність $\phi _{1_{H}}(n)=n$.)
• Елемент, обернений до $\,(n,h)$, рівний $(\,\phi _{h}^{-1}(n^{-1}),h^{-1})$.
  • Для доведення того, що цей елемент є оберненим зліва, використовується рівність $\phi _{h}^{-1}(n^{-1})=\phi _{h^{-1}}(n)^{-1}$.
• Відображення $n\to (n,1_{H})$ и $h\to (1_{N},h)$ є гомоморфними вкладеннями груп N і H в групу G. Їх образи мають єдиний спільний елемент - одиницю групи G.
• Відображення $(n,h)\to h$ є епиморфізмом групи G на групу H з ядром N. Звідси слідує, що група N є нормальною в G.
• Рівність $\,(n,h)=(n,1)*(1,h)$ дає розклад довільного елемента групи G у добуток елементів n і h з груп N і H відповідно. З цієї ж рівності випливає і єдиність розпаду.
• Рівність $(\phi _{h}(n),1)=(1,h)(n,1)(1,h)^{-1}$ показує, що дія групи H на N, котра задається гомоморфізмом $\phi$ співпадає з дією H на N спряженням.
• Щоб довести універсальну властивість напівпрямого добутку, треба скористатися формулою $(n_{1}h_{1})\cdot (n_{2}h_{2})=n_{1}(h_{1}n_{2}h_{1}^{-1})\cdot (h_{1}h_{2})$.
  З неї випливає, що добуток у групі G с однозначним NH-розкладом (при умові нормальності групи N) повністю визначається правилами множення всередині підгруп N і H и правилами спряження елементів із N елементами із H.

Приклад

Група $\mathbb {Z} _{4}$ діє на $\mathbb {Z} _{5}$ (розглядається як адитивна група відповідного кільця) чотирма різними способами:

$\phi _{h}(n)=a^{h}n$, де $a$ — фіксований ненульовий елемент $\mathbb {Z} _{5}$, $h\in \mathbb {Z} _{4}$, $n\in \mathbb {Z} _{5}$.

Відповідно, на множині $\mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{4}$ можна ввести 4 структури групи - напівпрямого добутку:

1. $(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+n_{2},h_{1}+h_{2})\,$
2. $(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+(-1)^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})$
3. $(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+2^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})$
4. $(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+3^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})$

Можна показати, що останні дві групи ізоморфні, а решта - ні, а також, що ці приклади перераховують всі групи порядку 20, що містять елемент порядку 4 (при цьому використовуються теореми Силова).

Подібним чином напівпрямі добутки груп використовуються для класифікації скінченних груп.

Література

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва : Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.(рос.)