Напівпрямий добуток

Напівпрямий добуток — конструкція в теорії груп, що дозволяє будувати нову групу за двома групами $H$ і $N$ , і дією $\phi$ групи $H$ в просторі групи $N$ , що зберігає її групову структуру.

Напівпрямий добуток груп $N$ і $H$ над $\phi$ звичайно позначається $N\rtimes _{\phi }H$ .

Конструкція

Нехай задана дія групи $H$ на просторі групи $N$ із збереженням її групової структури. Це означає, що задано гомоморфізм $\phi :H\rightarrow {\mbox{Aut}}(N)$ групи $H$ в групу автоморфізмів групи $N$ . Автоморфізм групи $N$ , що відповідає елементу $h$ із $H$ при гомоморфізмі $\phi$ позначимо $\phi _{h}$ . Як група $G$ — напівпрямий добуток груп $H$ і $N$ над гомоморфізмом $\phi$ — береться множина $N\times H$ з бінарної операцією $*$ , яка діє за правилом:

(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}\phi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})

для довільних

n_{1},n_{2}\in N

,

h_{1},h_{2}\in H

.

Властивості

Групи $H$ і $N$ природно вкладені в $G$ , причому $N$ — нормальна підгрупа в $G$ .
Кожен елемент $g\in G$ однозначно розкладемо у добуток $g=nh$ , де $h$ і $n$ — елементи груп $H$ і $N$ відповідно. (Ця властивість виправдовує назву групи $G$ як напівпрямого добутку груп $H$ і $N$ .)
Задана дія $\phi$ груп $H$ на групі $N$ збігається з дією $H$ на $N$ спряженнями (в групі $G$ ).

Будь-яка група з властивостями 1-3 ізоморфна групі $G$ (властивість універсальності напівпрямогу добутку груп).

Обґрунтування

Асоціативність операції перевіряється безпосередньо. Використовуються співвідношення

\phi _{h_{1}}\circ \phi _{h_{2}}(n)=\phi _{h_{1}h_{2}}(n)

и

\,\phi _{h}(n_{1})\phi _{h}(n_{2})=\phi _{h}(n_{1}n_{2})

.

Одиницею групи G служить елемент $\,(1_{N},1_{H})$ , де $1_{N}$ и $1_{H}$ - одиниці в групах N и H відповідно.
(Використовується рівність $\phi _{1_{H}}(n)=n$ .)
Елемент, обернений до $\,(n,h)$ , рівний $(\,\phi _{h}^{-1}(n^{-1}),h^{-1})$ .
- Для доведення того, що цей елемент є оберненим зліва, використовується рівність $\phi _{h}^{-1}(n^{-1})=\phi _{h^{-1}}(n)^{-1}$ .
Відображення $n\to (n,1_{H})$ и $h\to (1_{N},h)$ є гомоморфними вкладеннями груп N і H в групу G. Їх образи мають єдиний спільний елемент - одиницю групи G.
Відображення $(n,h)\to h$ є епиморфізмом групи G на групу H з ядром N. Звідси слідує, що група N є нормальною в G.
Рівність $\,(n,h)=(n,1)*(1,h)$ дає розклад довільного елемента групи G у добуток елементів n і h з груп N і H відповідно. З цієї ж рівності випливає і єдиність розпаду.
Рівність $(\phi _{h}(n),1)=(1,h)(n,1)(1,h)^{-1}$ показує, що дія групи H на N, котра задається гомоморфізмом $\phi$ співпадає з дією H на N спряженням.
Щоб довести універсальну властивість напівпрямого добутку, треба скористатися формулою $(n_{1}h_{1})\cdot (n_{2}h_{2})=n_{1}(h_{1}n_{2}h_{1}^{-1})\cdot (h_{1}h_{2})$ .
З неї випливає, що добуток у групі G с однозначним NH-розкладом (при умові нормальності групи N) повністю визначається правилами множення всередині підгруп N і H и правилами спряження елементів із N елементами із H.

Приклад

Група $\mathbb {Z} _{4}$ діє на $\mathbb {Z} _{5}$ (розглядається як адитивна група відповідного кільця) чотирма різними способами:

\phi _{h}(n)=a^{h}n

, де

a

— фіксований ненульовий елемент

\mathbb {Z} _{5}

,

h\in \mathbb {Z} _{4}

,

n\in \mathbb {Z} _{5}

.

Відповідно, на множині $\mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{4}$ можна ввести 4 структури групи — напівпрямого добутку:

$(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+n_{2},h_{1}+h_{2})\,$
$(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+(-1)^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})$
$(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+2^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})$
$(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+3^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})$

Можна показати, що останні дві групи ізоморфні, а решта — ні, а також, що ці приклади перераховують всі групи порядку 20, що містять елемент порядку 4 (при цьому використовуються теореми Силова).

Подібним чином напівпрямі добутки груп використовуються для класифікації скінченних груп.

Див. також

Прямий добуток груп

Джерела

Українською

(укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)