Ізоморфізм груп
(Перенаправлено з Автоморфізм групи)
Ізоморфі́зм груп — бієктивний гомоморфізм груп.
ВизначенняРедагувати
Ізоморфізм груп — взаємно однозначне відображення групи (G, *) в групу (H, ·), що зберігає групову операцію, тобто:
Ізоморфні групи у певному сенсі є еквівалентними.
ПрикладиРедагувати
- Група лінійних операторів та група матриць, що відповідають цим операторам за фіксації певного базису, є ізоморфними.
- Група дійсних чисел з додаванням, ізоморфна групі додатних дійсних чисел з множенням:
через ізоморфізм (див. експонента).
Автоморфізм групиРедагувати
Автоморфізм групи — ізоморфізм групи (G, *) в себе. Тобто бієкція
Автоморфізм групи називається внутрішнім, якщо його можна задати як
Не внутрішній автоморфізм називають зовнішнім автоморфізмом.
- Автоморфізм завжди переводить одиницю групи в себе ж.
- Композиція двох автоморфізмів є автоморфізмом. Множина всіх автоморфізмів G, відносно композиції утворює групу — групу автоморфізмів G, позначається — Aut(G).
- Множина всіх внутрішніх автоморфізмів є нормальною підгрупою в Aut(G), і позначається — Inn(G).
- Факторгрупа Aut(G) / Inn(G) називається групою зовнішніх автоморфізмів, і позначається — Out(G).
Див. такожРедагувати
ДжерелаРедагувати
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
- Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)