В теорії груп, теореми Силова стверджують про існування підгруп певного порядку, визначають їх властивості. Теореми доведені норвезьким математиком Силовом в 1872 р.

Група (математика)
Rubik's cube.svg
Теорія груп

ВизначенняРедагувати

Нехай   — скінченна група, а   — просте число, що ділить порядок  . Підгрупи порядку   називаються  -підгрупами. Нехай маємо  , де   не ділиться на  . Тоді  -підгрупою Силова називається підгрупа  , що має порядок  .

Твердження теоремРедагувати

Нехай   — скінченна група. Тоді:

  •  -підгрупа Силова існує.
  • Будь-яка  -підгрупа міститься в деякій  -підгрупі Силова. Всі  -підгрупи Силова спряжені (тобто кожну можна представити в виді  , де   — елемент групи, а   — підгрупа Силова із теореми 1).
  • Кількість  -підгруп Силова рівне одиниці за модулем     і ділить порядок  .

ДоведенняРедагувати

1. Спершу доведемо, що  

Справді здійснюючи обчислення за модулем p отримуємо:

 

Піднісши обі частини до степеня m маємо:

 

В лівій частині коефіцієнт біля   рівний   а в правій m, що й доводить твердження .

Як наслідок маємо, що   не ділиться на p, якщо на p не ділиться число m.

Нехай |G| = pkm, і Ω позначає множину підмножин G потужності pk. Тоді маємо:

 

Розглянемо дію G на множині Ω, що полягає у лівому множенні. Тоді

 

де сума береться по всіх орбітах множини Ω. Зрозуміло, що кількість елементів принаймні однієї з цих орбіт не ділиться на p, оскільки на p не ділиться кількість елементів множини Ω, що випливає з доведеного вище. Нехай S  — один з елементів цієї орбіти і P його стабілізатор. Тоді для величини орбіти маємо:

 

Для того, щоб це число не ділилося на p необхідно   і як наслідок pr ≤ |P|. З іншої сторони для будь-якого   маємо відображення [ggx] ' ін'єктивним відображенням P в S (дане відображення є відображенням в S, оскільки P є стабілізатором S). Відповідно |P|≤pr і, поєднуючи дві нерівності одержимо |P|= pr '


2. Нехай H — довільна p-підгрупа G. Розглянем її дію на множині правих класів суміжності G/P лівими зсувами, де P — p-підгрупа Силова. Кількість елементів довільної нетривіальної орбіти повинно ділитися на p. Але |G/P| не ділиться на p, відповідно у дії є нерухома точка gP. Тому  , а значить,  , тобто H є підгрупою деякої p-підгрупи Силова. Якщо ж H — сама є p-підгрупою Силова, то вона спряжена з P.

3. Кількість p-підгруп Силова рівна [G: NG(P)] і, відповідно, ділить |G|. З попереднього маємо, що множина p-підгруп Силова рівна X = {gPg-1}. Розглянемо дію P на X спряженнями. Нехай H із X — деяка нерухома точка. Тоді P і H належать нормалізатору підгрупи H і при цьому спряжені в NG(H) як p-підгрупи Силова. Але H нормальна в своєму нормалізаторі, тому H = P и єдиною нерухомою точкою дії є P. Оскільки порядки всіх нетривіальних орбіт кратні p, одержуємо  .

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати