Теореми Силова

В теорії груп, теореми Силова стверджують про існування підгруп певного порядку, визначають їх властивості. Теореми доведені норвезьким математиком Силовом в 1872 р.

Визначення

Нехай $G$ — скінченна група, а $p$ — просте число, що ділить порядок $G$ . Підгрупи порядку $p^{t}$ називаються $p$ -підгрупами. Нехай маємо $|G|=p^{n}s$ , де $s$ не ділиться на $p$ . Тоді $p$ -підгрупою Силова називається підгрупа $G$ , що має порядок $p^{n}$ .

Твердження теорем

Нехай $G$ — скінченна група. Тоді:

$p$ -підгрупа Силова існує.
Будь-яка $p$ -підгрупа міститься в деякій $p$ -підгрупі Силова. Всі $p$ -підгрупи Силова спряжені (тобто кожну можна представити в виді $gPg^{-1}$ , де $g$ — елемент групи, а $P$ — підгрупа Силова із теореми 1).
Кількість $p$ -підгруп Силова рівне одиниці за модулем $p$ $N_{p}\equiv 1{\pmod {p}}$ і ділить порядок $G$ .

Доведення

1. Спершу доведемо, що ${p^{k}m \choose p^{k}}\equiv m{\pmod {p}}$

Справді здійснюючи обчислення за модулем p отримуємо:

(X+1)^{p^{r}}\equiv X^{p^{r}}+1^{p^{r}}=X^{p^{r}}+1{\pmod {p}}

Піднісши обі частини до степеня m маємо:

(X+1)^{p^{r}m}\equiv (X^{p^{r}}+1)^{m}{\pmod {p}}

В лівій частині коефіцієнт біля $X^{p^{r}}$ рівний ${p^{k}m \choose p^{k}},$ а в правій m, що й доводить твердження .

Як наслідок маємо, що ${p^{k}m \choose p^{k}}$ не ділиться на p, якщо на p не ділиться число m.

Нехай |G| = p^km, і Ω позначає множину підмножин G потужності p^k. Тоді маємо:

|\Omega |={p^{k}m \choose p^{k}}\mathrm {.}

Розглянемо дію G на множині Ω, що полягає у лівому множенні. Тоді

|\Omega |=\sum _{[o],\ o\in \Omega }|Go|\mathrm {.}

де сума береться по всіх орбітах множини Ω. Зрозуміло, що кількість елементів принаймні однієї з цих орбіт не ділиться на p, оскільки на p не ділиться кількість елементів множини Ω, що випливає з доведеного вище. Нехай S — один з елементів цієї орбіти і P його стабілізатор. Тоді для величини орбіти маємо:

[G:P]={\frac {|G|}{|P|}}={\frac {p^{r}m}{|P|}}

Для того, щоб це число не ділилося на p необхідно $p^{r}||P|$ і як наслідок p^r ≤ |P|. З іншої сторони для будь-якого $x\in S$ маємо відображення [g ↦ gx] ' ін'єктивним відображенням P в S (дане відображення є відображенням в S, оскільки P є стабілізатором S). Відповідно |P|≤p^r і, поєднуючи дві нерівності одержимо |P|= p^r '

2. Нехай H — довільна p-підгрупа G. Розглянем її дію на множині правих класів суміжності G/P лівими зсувами, де P — p-підгрупа Силова. Кількість елементів довільної нетривіальної орбіти повинно ділитися на p. Але |G/P| не ділиться на p, відповідно у дії є нерухома точка gP. Тому $\forall h\in H\quad hga=ga',\quad a,a'\in P$ , а значить, $h=ga'a^{-1}g^{-1}\in gPg^{-1}$ , тобто H є підгрупою деякої p-підгрупи Силова. Якщо ж H — сама є p-підгрупою Силова, то вона спряжена з P.

3. Кількість p-підгруп Силова рівна [G: N_G(P)] і, відповідно, ділить |G|. З попереднього маємо, що множина p-підгруп Силова рівна X = {gPg^-1}. Розглянемо дію P на X спряженнями. Нехай H із X — деяка нерухома точка. Тоді P і H належать нормалізатору підгрупи H і при цьому спряжені в N_G(H) як p-підгрупи Силова. Але H нормальна в своєму нормалізаторі, тому H = P и єдиною нерухомою точкою дії є P. Оскільки порядки всіх нетривіальних орбіт кратні p, одержуємо $N_{p}\equiv 1{\pmod {p}}$ .

Див. також

P-група

Джерела

Українською

(укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.
Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)