Породжувальна множина групи

Твірна множина групи — це така підмножина S групи G, що кожен елемент групи G можна подати як добуток скінченної кількості елементів із S та обернених до них.

Загальніше, якщо S підмножина групи G, тоді <S> — підгрупа породжена S, це найменша підгрупа G яка містить всі елементи S. Еквівалентно, <S> це підгрупа всіх елементів G, які можуть бути представлені як добутки скінченної кількості елементів з S та обернених до них.

Якщо G = <S>, говорять, що S породжує G, а елементи S називаються твірними або породжувальними елементами групи G. Якщо S — порожня, то за визначенням, вважається <S> = {e}.

Коли S містить тільки один елемент x, зазвичай пишуть <x> = G. В такому випадку <x> — це циклічна підгрупа степенів x в G.

Вільна група

Найзагальніша група породжена множиною S — це група вільно породжена S. Кожна група породжена S, ізоморфна факторгрупі такої групи. Ця властивість використовується для задання групи.

Приклади

Симетрична група

При n ≥ 3 симетрична група S_n не є циклічною (не може бути породженою одним елементом).

Хоча може бути породжена двома елементами: перестановка $(1\leftrightarrow 2)$ та перестановка $(1\to 2\to 3\to \ldots \to n)$.

Для прикладу, перечислимо всі 6 елементів S₃:

e = (1 2)(1 2)

(1 2) = (1 2)

(1 3) = (1 2)(1 2 3)

(2 3) = (1 2 3)(1 2)

(1 2 3) = (1 2 3)

(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

Знакозмінна група

При n ≥ 3 знакозмінна група може бути породжена 3-циклами (перестановками $i\to j\to k$).

В знакозмінній групі парна кількість транспозицій, і кожна пара транспозицій може бути утворена одним чи двома 3-циклами:

${\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}a&c\\c&a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c\\b&c&a\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}c&d\\d&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&c&a&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}b&c&a&d\\b&a&d&c\end{pmatrix}}$.

чи в циклічній нотації

(a b) * (a c) = (a b c)

(a b) * (c d) = (a b c) * (c a d)

При n ≥ 3 знакозмінна група може бути породжена m-циклами (де m — непарне число > 1).

Оскільки:

• m-цикл має (m - 1), тобто, парну кількість транспозицій, отже є елементом групи і
• довільний 3-цикл є добутком m-циклів:

$(a_{1}a_{2}a_{3})=(a_{2}a_{1}a_{3}a_{4}\ldots a_{m})\circ (a_{m}a_{m-1}\ldots a_{4}a_{3}a_{2}a_{1})$.

Див. також

• Граф Келі
• Залишково скінченна група

Джерела

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)

Й* Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)

• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)