Спряжені функтори

Спря́жені функтори — пара функторів, що перебувають у певному співвідношенні між собою. Спряжені функтори часто зустрічаються в різних областях математики.

Неформально, функтори F і G є спряженими, якщо вони задовольняють співвідношенню . Тоді F називається лівим спряженим функтором, а G — правим.

МотиваціяРедагувати

Спряжені функтори — один з ключових інструментів теорії категорій, багато важливих математичних конструкцій можна описати як спряжені функтори. В результаті із загальних теорем про спряжені функтори, таких як еквівалентність різних означень, і з того факту, що праві спряжені функтори комутують з границями (а ліві — з кограницями), можуть негайно випливати доведення багатьох цікавих результатів.

Розв'язок оптимізаційної задачіРедагувати

Можна сказати, що спряжений функтор є способом вказівки найбільш ефективного розв'язку певної задачі за допомогою стандартного методу. Наприклад, елементарна проблема з теорії кілець — вкладення кільця без одиниці у кільце з одиницею. Найбільш ефективним способом це зробити є додавання в кільце одиниці, всіх елементів, необхідних для виконання аксіом кільця (наприклад, елементи типу r + 1, де r — елемент кільця) без припущення якихось співвідношень в новому кільці, які не потрібні для виконання аксіом. Ця конструкція є стандартною в тому сенсі, що вона працює для будь-якого кільця без одиниці.

Наведений вище опис є дуже розпливчастим але його можна зробити точним, використовуючи мову теорії категорій: конструкція є «найбільш ефективною», якщо вона задовольняє універсальні властивості, і «стандартною» в тому сенсі, що вона задає функтор. Універсальні властивості діляться на початкові і термінальні і оскільки ці поняття є двоїстими, досить розглянути одне з них.

Ідея використання початкової властивості полягає в тому щоб сформулювати проблему в термінах такої допоміжної категорії E, щоб залишилося лише знайти початковий об'єкт E. Таке формулювання має ту перевагу, що завдання «знаходження найбільш ефективного розв'язку» стає чітким і в якомусь сенсі подібним до завданням знаходження екстремуму. Для вибору правильної категорії E іноді потрібно підбирати непрості прийоми: у випадку півкільця R потрібна категорія — це категорія, об'єкти якої — гомоморфізми кілець RS, де S — деяке кільце з одиницею. Морфізм в E між RS1 і RS2комутативні трикутники виду ( RS1 , RS2, S1S2), де S1 → S2 — гомоморфізм кілець. Існування морфізма між R S 1 і RS2 означає, що S1 є не менш ефективним розв'язком задачі, ніж S2 : S2 має більше доданих елементів і (або) більше співвідношень між ними, ніж S1.

Метод визначає «найбільш ефективний» і «стандартний» розв'язок задач, якщо він задає спряжені функтори.

Формальні означенняРедагувати

Існують кілька еквівалентних означень спряжених функторів. Їх еквівалентність є елементарною але не тривіальною.

Означення за допомогою універсальної стрілки [⇨] легко сформулювати, воно також найближче до інтуїції з приводу «оптимізаційної задачі».

Означення за допомогою одиниці і коодиниці [⇨] є зручно для функторів, часто зустрічаються в алгебрі, тому що використовує формули, які можна перевірити безпосередньо.

Означення за допомогою множин Hom [⇨] робить очевидною симетричність означення і прояснює причини для через які функтори називаються «спряженими».

Універсальна стрілкаРедагувати

Функтор F: CD називається лівим спряженим функтором, якщо для кожного об'єкта X категорії C існує термінальна стрілка εX з F у X. Якщо для кожного X у C вибрати об'єкт G0 X у D, для якого визначена термінальна стрілка εX : F(G0 X) → X, то існує єдиний функтор G: CD , такий, що GX = G0 X і для будь-якого морфізма в категорії C f: X X' виконується ε X' FG(f) = f ∘ εX; F тоді називають лівим спряженим до функтора G.

Функтор G: CD називається правим спряженим функтором, якщо для кожного об'єкта Y категорії D існує початкова стрілка з Y у G. Якщо для кожного Y у D вибрати об'єкт F 0 Y у C, такий, що визначена початкова стрілка η Y: YG (F0 Y) з Y в G, то існує єдиний функтор F: CD, такий, що FY = F0 Y і GF(g) ∘ η Y = ηY' g для g: YY' — морфізма у D; G тоді називають правим спряженим до функтора F.

Функтор F є лівим спряженим для G тоді і тільки тоді, коли G є правим спряженим для F. Однак це не очевидно з означення через універсальну стрілку але очевидно завдяки означенню через одиницю і коодиницю.

Одиниця і коодиницяРедагувати

Для задання одиниці і коодиниці в категоріях C і D потрібно зафіксувати два функтори F: CD, G: CD і два натуральні перетворення:

 ,

що називаються відповідно коодиницею і одиницею спряження, таких, що композиції

  і
 

є тотожними перетвореннями 1F і 1G функторів F і G відповідно.

У такій ситуації F є лівим спряженим для G і G є правим спряженим для F. Іноді це відношення позначають   або просто  .

У формі рівнянь наведені вище умови на (ε, η) називаються рівняннями коодиниці і одиниці:

 

Означення через функтори HomРедагувати

Розглянемо два функтори F: CD і G: CD . Нехай існує натуральний ізоморфізм:

 .

Він визначає сім'ю бієкцій:

 .

для всіх об'єктів X у C і Y у D .

Тут F називається лівим спряженим для G і G — правим спряженим для F.

Щоб зрозуміти, що мається на увазі під натуральністю Φ, потрібно пояснити, яким чином homC(F -, -) і homD(-, G -) є функторами. Насправді, вони обидва є біфункторами з Dop×C у Set. В явному вигляді натуральність Φ означає, що для всіх морфізмів f: XX' у C і морфізма g:Y' Y у D діаграма нижче комутує:

Вертикальні стрілки на діаграмі породжуються композиціями морфізмів. Наприклад, для h у HomC(FY, X) за означенням Hom(Fg, f) : HomC(FY, X) → HomC(FY′, X′) задається як hf o h o Fg . Подібним є і означення Hom(g, Gf).

В інший спосіб можна описати натуральність так, що для всіх об'єктів X, X' у C і Y, Y' у D, для всіх морфізмів h у HomC(FY, X) і f: XX'

 

і для всіх морфізмів j у HomC(Y , GX) і g: Y' Y:

 

ПрикладиРедагувати

Вільні групиРедагувати

Конструкція вільної групи є зручним прикладом для прояснення суті означень. Нехай F: GrpSet — функтор, який множині Y зіставляє вільну групу, породжену елементами Y, і G: GrpSetзабуваючий функтор, що зіставляє групі X її множину-носій. Тоді F — лівий спряжений для G:

Термінальні стрілки: для кожної групи X, група FGX — вільна група, породжена елементами X як множиною. Нехай   — гомоморфізм груп, який переводить породжуючі елементи FGX у відповідні елементи X. Тоді   — термінальний морфізм з F у X, тому що будь-який гомоморфізм з вільної групи FZ в X розкладається через   за допомогою єдиної функції з множини Z в множину X. Це означає, що (F, G) — пара спряжених функторів.

Множині Hom відображення з вільної групи FY у групу X однозначно відповідають відображенням множини Y у множину GX: кожен гомоморфізм однозначно визначається своїми значеннями на породжуючих елементах вільної групи. Прямим обчисленням можна перевірити, що ця відповідність — натуральне перетворення, а тому, пара (F, G) є спряженою.

Подальші приклади з алгебриРедагувати

  • Всі вільні об'єкти — результати застосування вільного функтора, який є лівим спряженим для забуваючого функтора.
  • добутки, ядра і вирівнювачі — приклади категорних границь. Всі такі функтори є правими спряженими до діагонального функтора. Аналогічно, кодобуток, коядра і ковирівнювачі є кограницями і є лівими спряженими до діагонального функтора.
  • Додавання одиниці в кільце без одиниці (приклад з розділу «Мотивація»). Якщо задано кільце без одиниці R, то відповідне йому кільце з одиницею — добуток R×Z, на якому задано Z-білінійний добуток за формулою (r, 0)(0,1) = (0,1)(r, 0) = (r , 0), (r, 0)(s, 0) = (rs, 0), (0,1)(0,1) = (0,1). Побудований функтор є спряженим зліва до забуваючого функтора, що відправляє кільце з одиницею в те ж кільце у категорії кілець, що можуть не мати одиниці.
  • Розширення кілець. Нехай R і S — кільця, і ρ: RSгомоморфізм кілець . Тоді S можна розглядати як (лівий) R-модуль, і тензорний добуток з S визначає функтор F: R-ModS-Mod. Тоді F є спряженим зліва до забуваючого функтора G: S-ModR-Mod.
  • Тензорні добутки. Якщо R — кільце і M — правий R-модуль, то тензорний добуток з M визначає функтор F: R-ModAb. Функтор G: AbR-Mod, визначений як G(A) = homZ(M, A) є спряженим справа до F.
  • Поле часток. Для категорії Domm областей цілісності і ін'єктивних гомоморфізмів, забуваючий функтор FieldDomm має лівий спряжений, що зіставляє кожній області цілісності її поле часток.
  • Кільця многочленів . Для Ring* — категорії комутативних кілець із зазначеним елементом і гомоморфізмів, що зберігають зазначений елемент, забуваючий функтор G: Ring*Ring має лівий спряжений — він зіставляє кільцю R пару (R[x],x), де R[x]кільце многочленів з коефіцієнтами з R.
  • Забуваючий функтор U: GrpMon із категорії груп у групу моноїдів має як лівий спряжений, так і правий спряжений функтори. Лівий спряжений зіставляє моноїду M групу Mgp, яку можна одержати як факторгрупу вільної групи породженої елементами  по нормальній підгрупі породженій елементами виду   Правий спряжений функтор зіставляє моноїду його підгрупу оборотних елементів.
  • Абелізація. Забуваючий функтор U: AbGrp має лівий спряжений, що називається функтором абелізаціі, який кожній групі G зіставляє факторгрупу по комутанту: Gab = G/[G, G]. Для групи G її абелізація має універсальну властивість: кожен гомоморфізм   із G у абелеву групу A однозначно записується як   де   є відображенням факторизації   а   — однозначно визначеним гомоморфізмом абелевих груп.
Бієкцію між множинами homAb(Gab, A) і homGrp(G,U(A)) задається так: гомоморфізму абелевих груп   відповідає гомоморфізм   а гомоморфізму   із G у абелеву групу A, визначений вище гомоморфізм  

Приклади з топологіїРедагувати

ВластивостіРедагувати

ІснуванняРедагувати

Не кожен функтор G: CD має лівий або правий спряжений. Якщо Cповна категорія, то згідно теореми про спряжені функтори Петера Фрейда G має лівий спряжений тоді і тільки тоді, коли для будь-якого Y з категорії D існує сім'я морфізмів:

f i: YG(Xi),

де індекси i пробігають множина I, таке, що будь-який морфізм:

h: YG(X)

може бути записаний як:

h = G(t) o fi

для деякого i e I і деякого морфізма:

t: XiX e C.

Аналогічне твердження характеризує функтори, що мають правий спряжений.

ЄдиністьРедагувати

Якщо функтор F: CD має два правих спряжених G і G ', то G' ' і G' є натурально ізоморфними.

Навпаки, якщо F є спряженим зліва до G, і G натурально ізоморфний G' , то F також є спряженим зліва до G '.

КомпозиціяРедагувати

Для спряжень можна ввести композиції. Якщо <F, G, ε, η> — спряження між C і D , і <F',G' , ε ', η'> — спряження між D і E, то функтор

 

є спряженим зліва до функтора

 .

Можна утворити категорію, об'єктами якої є всі малі категорії, а морфізмами — спряження.

Комутування з границямиРедагувати

Найбільш важлива властивість спряжених функторів — їх неперервність: кожний функтор, що має лівий спряжений (тобто є правим спряженим), комутує з границями в категорному сенсі. Відповідно, функтор, що має правий спряжений, є конеперервним, тобто комутує з кограницями. Оскільки багато конструкцій є границями або кограницями, з цього відразу випливає кілька наслідків. Наприклад:

  • Застосування правого спряженого функтора до добутку дає добуток образів.
  • Застосування лівого спряженого функтора до кодобутку дає кодобуток образів.
  • Кожний правий спряжений і адитивний функтор між абелевими категоріями є точним зліва.
  • Кожний лівий спряжений і адитивний функтор між абелевими категоріями є точним справа.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати