Спряжені функтори

Спря́жені функтори — пара функторів, що перебувають у певному співвідношенні між собою. Спряжені функтори часто зустрічаються в різноманітних галузях математики.

Неформально, функтори $F$ і $G$ є спряженими, якщо вони задовольняють співвідношенню $\mathrm {Hom} (F(X),Y)=\mathrm {Hom} (X,G(Y))$ . Тоді $F$ називається лівим спряженим функтором, а $G$ — правим.

Мотивація ред.

Спряжені функтори — один з ключових інструментів теорії категорій, багато важливих математичних конструкцій можна описати як спряжені функтори. В результаті із загальних теорем про спряжені функтори, таких як еквівалентність різних означень, і з того факту, що праві спряжені функтори комутують з границями (а ліві — з кограницями), можуть негайно випливати доведення багатьох цікавих результатів.

Розв'язок оптимізаційної задачі ред.

Можна сказати, що спряжений функтор є способом вказівки найбільш ефективного розв'язку певної задачі за допомогою стандартного методу. Наприклад, елементарна проблема з теорії кілець — вкладення кільця без одиниці у кільце з одиницею. Найбільш ефективним способом це зробити є додавання в кільце одиниці, всіх елементів, необхідних для виконання аксіом кільця (наприклад, елементи типу $r + 1$ , де $r$ — елемент кільця) без припущення якихось співвідношень в новому кільці, які не потрібні для виконання аксіом. Ця конструкція є стандартною в тому сенсі, що вона працює для будь-якого кільця без одиниці.

Наведений вище опис є дуже розпливчастим але його можна зробити точним, використовуючи мову теорії категорій: конструкція є «найбільш ефективною», якщо вона задовольняє універсальні властивості, і «стандартною» в тому сенсі, що вона задає функтор. Універсальні властивості діляться на початкові і термінальні і оскільки ці поняття є двоїстими, досить розглянути одне з них.

Ідея використання початкової властивості полягає в тому щоб сформулювати проблему в термінах такої допоміжної категорії $E$ , щоб залишилося лише знайти початковий об'єкт $E$ . Таке формулювання має ту перевагу, що завдання «знаходження найбільш ефективного розв'язку» стає чітким і в якомусь сенсі подібним до завданням знаходження екстремуму. Для вибору правильної категорії $E$ іноді потрібно підбирати непрості прийоми: у випадку півкільця $R$ потрібна категорія — це категорія, об'єкти якої — гомоморфізми кілець $R \to S$ , де $S$ — деяке кільце з одиницею. Морфізм в $E$ між $R \to S 1$ і $R \to S 2$ — комутативні трикутники виду $(R \to S 1, R \to S 2, S 1 \to S 2)$ , де $S 1 \to S 2$ — гомоморфізм кілець. Існування морфізма між $R \to S 1$ і $R \to S 2$ означає, що $S 1$ є не менш ефективним розв'язком задачі, ніж $S 2 : S 2$ має більше доданих елементів і (або) більше співвідношень між ними, ніж $S 1$ .

Метод визначає «найбільш ефективний» і «стандартний» розв'язок задач, якщо він задає спряжені функтори.

Формальні означення ред.

Існують кілька еквівалентних означень спряжених функторів. Їх еквівалентність є елементарною але не тривіальною.

Означення за допомогою універсальної стрілки ^[⇨] легко сформулювати, воно також найближче до інтуїції з приводу «оптимізаційної задачі».

Означення за допомогою одиниці і коодиниці ^[⇨] є зручно для функторів, часто зустрічаються в алгебрі, тому що використовує формули, які можна перевірити безпосередньо.

Означення за допомогою множин $Hom$ ^[⇨] робить очевидною симетричність означення і прояснює причини для через які функтори називаються «спряженими».

Універсальна стрілка ред.

Функтор $F : C \leftarrow D$ називається лівим спряженим функтором, якщо для кожного об'єкта $X$ категорії $C$ існує термінальна стрілка $ε X$ з $F$ у $X$ . Якщо для кожного $X$ у $C$ вибрати об'єкт $G 0 X$ у $D$ , для якого визначена термінальна стрілка $ε X : F (G 0 X) \to X$ , то існує єдиний функтор $G : C \to D$ , такий, що $GX = G 0 X$ і для будь-якого морфізма в категорії $C$ $f : X \to X'$ виконується $ε X' \circ FG (f) = f \circ ε X$ ; $F$ тоді називають лівим спряженим до функтора $G$ .

Функтор $G : C \to D$ називається правим спряженим функтором, якщо для кожного об'єкта $Y$ категорії $D$ існує початкова стрілка з $Y$ у $G$ . Якщо для кожного $Y$ у $D$ вибрати об'єкт $F 0 Y$ у $C$ , такий, що визначена початкова стрілка $η Y : Y \to G (F 0 Y)$ з $Y$ в $G$ , то існує єдиний функтор $F : C \leftarrow D$ , такий, що $FY = F 0 Y$ і $GF (g) \circ η Y = η Y' \circ g$ для $g : Y \to Y'$ — морфізма у $D$ ; $G$ тоді називають правим спряженим до функтора $F$ .

Функтор $F$ є лівим спряженим для $G$ тоді і тільки тоді, коли $G$ є правим спряженим для $F$ . Однак це не очевидно з означення через універсальну стрілку але очевидно завдяки означенню через одиницю і коодиницю.

Одиниця і коодиниця ред.

Для задання одиниці і коодиниці в категоріях $C$ і $D$ потрібно зафіксувати два функтори $F : C \leftarrow D, G : C \to D$ і два натуральні перетворення:

{\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta &:1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}

,

що називаються відповідно коодиницею і одиницею спряження, таких, що композиції

F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F

і

G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G

є тотожними перетвореннями $1 F$ і $1 G$ функторів $F$ і $G$ відповідно.

У такій ситуації $F$ є лівим спряженим для $G$ і $G$ є правим спряженим для $F$ . Іноді це відношення позначають $(\varepsilon ,\eta ):F\dashv G$ або просто $F\dashv G$ .

У формі рівнянь наведені вище умови на $(ε, η)$ називаються рівняннями коодиниці і одиниці:

{\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}

Означення через функтори Hom ред.

Розглянемо два функтори $F : C \leftarrow D$ і $G : C \to D$ . Нехай існує натуральний ізоморфізм:

\Phi :\mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)

.

Він визначає сім'ю бієкцій:

\Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{C}(FY,X)\to \mathrm {hom} _{D}(Y,GX)

.

для всіх об'єктів $X$ у $C$ і $Y$ у $D$ .

Тут $F$ називається лівим спряженим для $G$ і $G$ — правим спряженим для $F$ .

Щоб зрозуміти, що мається на увазі під натуральністю $Φ$ , потрібно пояснити, яким чином $hom C (F -, -)$ і $hom D (-, G -)$ є функторами. Насправді, вони обидва є біфункторами з $D op \times C$ у $Set$ . В явному вигляді натуральність $Φ$ означає, що для всіх морфізмів $f : X \to X'$ у $C$ і морфізма $g : Y' \to Y$ у $D$ діаграма нижче комутує:

Naturality of Φ

Вертикальні стрілки на діаграмі породжуються композиціями морфізмів. Наприклад, для h у Hom_C(FY, X) за означенням Hom(Fg, f) : Hom_C(FY, X) → Hom_C(FY′, X′) задається як h → f o h o Fg . Подібним є і означення Hom(g, Gf).

В інший спосіб можна описати натуральність так, що для всіх об'єктів $X, X'$ у $C$ і $Y, Y'$ у $D$ , для всіх морфізмів h у Hom_C(FY, X) і $f : X \to X'$

\Phi _{Y,X'}(f\circ h)=G(f)\circ \Phi _{Y,X}(h)

і для всіх морфізмів j у Hom_C(Y , GX) і $g : Y' \to Y$ :

\Phi _{Y',X}^{-1}(j\circ g)=\Phi _{Y,X}^{-1}\circ F(g).

Приклади ред.

Вільні групи ред.

Конструкція вільної групи є зручним прикладом для прояснення суті означень. Нехай $F : Grp \leftarrow Set$ — функтор, який множині $Y$ зіставляє вільну групу, породжену елементами $Y$ , і $G : Grp \to Set$ — забуваючий функтор, що зіставляє групі $X$ її множину-носій. Тоді $F$ — лівий спряжений для $G$ :

Термінальні стрілки: для кожної групи $X$ , група $FGX$ — вільна група, породжена елементами $X$ як множиною. Нехай $\varepsilon _{X}:FGX\to X$ — гомоморфізм груп, який переводить породжуючі елементи $FGX$ у відповідні елементи $X$ . Тоді $(GX,\varepsilon _{X})$ — термінальний морфізм з $F$ у $X$ , тому що будь-який гомоморфізм з вільної групи $FZ$ в $X$ розкладається через $\varepsilon _{X}:FGX\to X$ за допомогою єдиної функції з множини $Z$ в множину $X$ . Це означає, що $(F, G)$ — пара спряжених функторів.

Множині Hom відображення з вільної групи $FY$ у групу $X$ однозначно відповідають відображенням множини $Y$ у множину $GX$ : кожен гомоморфізм однозначно визначається своїми значеннями на породжуючих елементах вільної групи. Прямим обчисленням можна перевірити, що ця відповідність — натуральне перетворення, а тому, пара $(F, G)$ є спряженою.

Подальші приклади з алгебри ред.

Всі вільні об'єкти — результати застосування вільного функтора, який є лівим спряженим для забуваючого функтора.
добутки, ядра і вирівнювачі — приклади категорних границь. Всі такі функтори є правими спряженими до діагонального функтора. Аналогічно, кодобуток, коядра і ковирівнювачі є кограницями і є лівими спряженими до діагонального функтора.
Додавання одиниці в кільце без одиниці (приклад з розділу «Мотивація»). Якщо задано кільце без одиниці $R$ , то відповідне йому кільце з одиницею — добуток $R \times Z$ , на якому задано $Z$ -білінійний добуток за формулою $(r, 0)(0,1) = (0,1)(r, 0) = (r , 0), (r, 0)(s, 0) = (rs, 0), (0,1)(0,1) = (0,1)$ . Побудований функтор є спряженим зліва до забуваючого функтора, що відправляє кільце з одиницею в те ж кільце у категорії кілець, що можуть не мати одиниці.
Розширення кілець. Нехай $R$ і $S$ — кільця, і $ρ: R \to S$ — гомоморфізм кілець . Тоді $S$ можна розглядати як (лівий) $R$ -модуль, і тензорний добуток з $S$ визначає функтор $F : R - Mod \to S - Mod$ . Тоді $F$ є спряженим зліва до забуваючого функтора $G : S - Mod \to R - Mod$ .
Тензорні добутки. Якщо $R$ — кільце і $M$ — правий $R$ -модуль, то тензорний добуток з $M$ визначає функтор $F : R - Mod \to Ab$ . Функтор $G : Ab \to R - Mod$ , визначений як $G (A) = hom Z (M, A)$ є спряженим справа до $F$ .
Поле часток. Для категорії $Dom m$ областей цілісності і ін'єктивних гомоморфізмів, забуваючий функтор $Field \to Dom m$ має лівий спряжений, що зіставляє кожній області цілісності її поле часток.
Кільця многочленів . Для $Ring *$ — категорії комутативних кілець із зазначеним елементом і гомоморфізмів, що зберігають зазначений елемент, забуваючий функтор $G: Ring * \to Ring$ має лівий спряжений — він зіставляє кільцю $R$ пару $(R [x], x)$ , де $R [x]$ — кільце многочленів з коефіцієнтами з $R$ .
Забуваючий функтор $U : Grp \to Mon$ із категорії груп у групу моноїдів має як лівий спряжений, так і правий спряжений функтори. Лівий спряжений зіставляє моноїду $M$ групу $M gp$ , яку можна одержати як факторгрупу вільної групи породженої елементами $[m],\ m\in M,$ по нормальній підгрупі породженій елементами виду $[mn][n]^{-1}[m]^{-1},\ m,n\in M.$ Правий спряжений функтор зіставляє моноїду його підгрупу оборотних елементів.
Абелізація. Забуваючий функтор $U : Ab \to Grp$ має лівий спряжений, що називається функтором абелізаціі, який кожній групі $G$ зіставляє факторгрупу по комутанту: $G ab = G /[G, G]$ . Для групи $G$ її абелізація має універсальну властивість: кожен гомоморфізм $\varphi$ із $G$ у абелеву групу $A$ однозначно записується як $\varphi ={\bar {\varphi }}\ \circ \ \mu ,$ де $\mu$ є відображенням факторизації $\mu :G\to G^{ab},$ а ${\bar {\varphi }}$ — однозначно визначеним гомоморфізмом абелевих груп.

Бієкцію між множинами

hom Ab (G ab, A)

і

hom Grp (G, U (A))

задається так: гомоморфізму абелевих груп

\psi :G^{ab}\to A

відповідає гомоморфізм

\psi \ \circ \ \mu ,

а гомоморфізму

\varphi

із

G

у абелеву групу

A

, визначений вище гомоморфізм

{\bar {\varphi }}.

Приклади з топології ред.

Функтор з двома спряженими. Нехай $G$ — функтор, що зіставляє топологічному простору його множину-носій (тобто забуває топологію). У $G$ є лівий спряжений $F$ , який надає множині дискретну топологію, і правий спряжений $H$ , який надає множині тривіальну топологію.
Надбудова і простір петель. Для даних топологічних просторів $X$ і $Y$ можна побудувати простір $[SX, Y]$ класів гомотопії відображень з надбудови $SX$ у $Y$ . Він є ізоморфним простору $[X, Ω Y]$ класів гомотопії відображень з $X$ у простір петель $Ω Y$ , тому функтори надбудови і простору петель є спряженими в гомотопічній категорії топологічних просторів.
Вкладення $G : KHaus \to Top$ категорії компактних гаусдорфових просторів в категорію топологічних просторів має лівий спряжений функтор $F : Top \to KHaus$ — компактифікацію Стоуна — Чеха. Коодиниця цієї пари задає неперервне відображення з довільного топологічного простору $X$ у його компактифікацію. Це відображення є вкладенням тоді і тільки тоді, коли $X$ — цілком регулярний простір.

Властивості ред.

Існування ред.

Не кожен функтор $G : C \to D$ має лівий або правий спряжений. Якщо $C$ — повна категорія, то згідно теореми про спряжені функтори Петера Фрейда $G$ має лівий спряжений тоді і тільки тоді, коли для будь-якого $Y$ з категорії $D$ існує сім'я морфізмів:

f i : Y \to G (X i)

,

де індекси $i$ пробігають множина $I$ , таке, що будь-який морфізм:

h : Y \to G (X)

може бути записаний як:

h = G (t) o f i

для деякого $i$ e $I$ і деякого морфізма:

t : X i \to X e C

.

Аналогічне твердження характеризує функтори, що мають правий спряжений.

Єдиність ред.

Якщо функтор $F : C \leftarrow D$ має два правих спряжених $G$ і $G'$ , то $G'$ і $G$ є натурально ізоморфними.

Навпаки, якщо $F$ є спряженим зліва до $G$ , і $G$ натурально ізоморфний $G'$ , то $F$ також є спряженим зліва до $G'$ .

Композиція ред.

Для спряжень можна ввести композиції. Якщо $< F, G, ε, η>$ — спряження між $C$ і $D$ , і $< F', G', ε ', η'>$ — спряження між $D$ і $E$ , то функтор

F'\circ F:{\mathcal {C}}\leftarrow {\mathcal {E}}

є спряженим зліва до функтора

G\circ G':{\mathcal {C}}\to {\mathcal {E}}

.

Можна утворити категорію, об'єктами якої є всі малі категорії, а морфізмами — спряження.

Комутування з границями ред.

Найбільш важлива властивість спряжених функторів — їх неперервність: кожний функтор, що має лівий спряжений (тобто є правим спряженим), комутує з границями в категорному сенсі. Відповідно, функтор, що має правий спряжений, є конеперервним, тобто комутує з кограницями. Оскільки багато конструкцій є границями або кограницями, з цього відразу випливає кілька наслідків. Наприклад:

Застосування правого спряженого функтора до добутку дає добуток образів.
Застосування лівого спряженого функтора до кодобутку дає кодобуток образів.
Кожний правий спряжений і адитивний функтор між абелевими категоріями є точним зліва.
Кожний лівий спряжений і адитивний функтор між абелевими категоріями є точним справа.

Див. також ред.

Література ред.

И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories. The joy of cats (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Zbl 0695.18001. Архів оригіналу (PDF) за 21 квітня 2015. Процитовано 19 лютого 2020.
Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Volume 1. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.
Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1.
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Т. 5 (вид. 2nd). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.