Гомоморфізм кілець

Гомоморфізмом кілець називається деяке відображення одного кільця в інше, що узгоджується з операціями додавання і множення.

ВизначенняРедагувати

Гомоморфізм кілецьРедагувати

Нехай   і   — два кільця.

Гомоморфізмом кілець   і   називається відображення   для якого виконуються умови

  •  
  •  

Якщо   і   мають одиничні елементи, то, як правило, додатково вимагається

  •   — одиничний елемент   відображається на елемент  

Пов'язані визначенняРедагувати

Образом гомоморфізма   називається множина

 

Образ гомоморфізма   є підкільцем кільця  .

Ядром гомоморфізма   називається множина

 ,

де   позначає нуль кільця  . Ядро гомоморфізма   є ідеалом кільця  . Для комутативних кілець всі ідеали є ядрами деяких гомоморфізмів.

Мономорфізмом кілець називається ін'єктивний гомоморфізм. Гомоморфізм   є мономорфізмом кілець тоді і тільки тоді, коли  , де   позначає нуль кільця  .

Епіморфізмом кілець називається гомоморфізм  , що є сюр'єктивним відображенням.

Гомоморфізм   називається ізоморфізмом кілець тоді і тільки тоді, коли   є бієктивним відображенням, тобто одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Для нього тоді існує обернене відображення  , що теж є ізоморфізмом кілець. Кільця   і   називаються ізоморфними, якщо існує ізоморфізм  .

Гомоморфізм   кільця R в себе називається ендоморфізмом кільця. Якщо при цьому   є ізоморфізмом, тоді цей гомоморфізм називається автоморфізмом.

ВластивостіРедагувати

  •   тобто нульовий елемент з кільця   відображається на нульовий елемент в  
  • Для всіх елементів   виконується  . Ця рівність випливає з того, що:  
  • Якщо існує гомоморфізм   то характеристика кільця S ділить характеристику кільця R.
  • Якщо R і S є комутативними кільцями і P є простим ідеалом кільця S, то   є простим ідеалом кільця R. Образ простого ідеалу при гомоморфізмі в загальному випадку не є навіть ідеалом.
  • Композиція двох гомоморфізмів кілець є гомоморфізмом кілець. Одиничне відображення є гомоморфізмом кілець. Тому всі кільця разом з гомоморфізмами кілець утворюють категорію — категорію кілець. Комутативні кільця разом із їх гомоморфізмами утворюють підкатегорію категорії кілець.

ПрикладиРедагувати

  • Комплексне спряження   є прикладом автоморфізму кільця.
  • Відображення   визначене як   є епіморфізмом кілець.
  • Для деякого елемента   можна визначити автоморфізм  .
  • Для кільця функцій визначених в якійсь множині із значеннями в множині дійсних чисел, вибравши довільну точку із області визначення можна отримати відображення, що кожній функції ставить у відповідність її значення у вибраній точці. Дане відображення буде гомоморфізмом з кільця функцій в поле дійсних чисел.

Канонічний гомоморфізмРедагувати

Для довільного кільця   і його ідеала   відображення   визначене як   є епіморфізмом. Таке відображення   називається канонічним гомоморфізмом кільця   на фактор-кільце  .

Якщо   є епіморфізмом кілець  , то   є ізоморфним фактор-кільцю   (ізоморфізмом є відображення   визначене як  ) і  , де   є канонічним гомоморфізмом.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати