В теорії категорій, підкатегорією категорії називається категорія , об'єкти якої є також об'єктами і морфізми якої є також морфізмами в , з тими ж тотожними морфізмами і правилами композиції. Інтуїтивно, підкатегорія одержується з видаленням деяких об'єктів і морфізмів.

Формальне визначенняРедагувати

Нехай   - категорія. Підкатегорія   категорії   задається за допомогою

  • Підкласу об'єктів  , що позначається  :
 
  • Підкласу морфізмів  , що позначаються   і для довільних об'єктів  :
 
  • Кожен тотожний морфізм в категорії   є також тотожним морфізмом в категорії  ;
  • Для кожного морфізма в  , його прообраз і образ належать  ;
  • Для кожної пари морфізмів f , g  , таких що   їх композиція   визначається композицією цих морфізмів в категорії  

З цих умов випливає, що   теж є категорією. Існує очевидний строгий функтор   , що називається функтором вкладення.

Види підкатегорійРедагувати

Підкатегорія   називається повною підкатегорією категорії  , якщо для будь-якої пари об'єктів  :

 

Підкатегорія   називається називається замкнутою щодо ізоморфізмів, якщо будь-який ізоморфізм,   такий що B належить  , також належить  . Замкнута щодо ізоморфізмів повна категорія називається строго повною.

Підкатегорія категорії   називається широкою, якщо вона містить усі об'єкти  . Зокрема, єдиною широкою повною категорією категорії   є сама категорія  .

ПрикладиРедагувати

Див. ТакожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.