Підкатегорія

В теорії категорій, підкатегорією категорії ${\mathfrak {A}}$ називається категорія ${\mathfrak {B}}$, об'єкти якої є також об'єктами ${\mathfrak {A}}$ і морфізми якої є також морфізмами в ${\mathfrak {A}}$, з тими ж тотожними морфізмами і правилами композиції. Інтуїтивно, підкатегорія ${\mathfrak {A}}$ одержується з ${\mathfrak {A}}$ видаленням деяких об'єктів і морфізмів.

Формальне визначення

Нехай ${\mathfrak {A}}$ - категорія. Підкатегорія ${\mathfrak {B}}$ категорії ${\mathfrak {A}}$ задається за допомогою

• Підкласу об'єктів ${\mathfrak {A}}$, що позначається $Ob({\mathfrak {B}})$:

$Ob({\mathfrak {B}})\subset Ob({\mathfrak {A}})$

• Підкласу морфізмів $Mor({\mathfrak {A}})$, що позначаються $Mor({\mathfrak {B}})$ і для довільних об'єктів $A,B\in Ob({\mathfrak {B}})$:

$Mor(A,B)_{\mathfrak {B}}\subset Mor(A,B)_{\mathfrak {A}}$

• Кожен тотожний морфізм в категорії ${\mathfrak {B}}$ є також тотожним морфізмом в категорії ${\mathfrak {A}}$;
• Для кожного морфізма в $Mor({\mathfrak {B}})$, його прообраз і образ належать $Ob({\mathfrak {B}})$;
• Для кожної пари морфізмів f , g $f,g\in Mor({\mathfrak {B}})$, таких що $f\in Mor(A,B)_{\mathfrak {B}},g\in Mor(B,C)_{\mathfrak {B}}$ їх композиція $f\circ g$ визначається композицією цих морфізмів в категорії ${\mathfrak {A}}$

З цих умов випливає, що ${\mathfrak {B}}$ теж є категорією. Існує очевидний строгий функтор $I:{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}$ , що називається функтором вкладення.

Види підкатегорій

Підкатегорія ${\mathfrak {B}}$ називається повною підкатегорією категорії ${\mathfrak {A}}$, якщо для будь-якої пари об'єктів $A,B\in Ob({\mathfrak {B}})$:

$Mor(A,B)_{\mathfrak {B}}=Mor(A,B)_{\mathfrak {A}}$

Підкатегорія ${\mathfrak {B}}$ називається називається замкнутою щодо ізоморфізмів, якщо будь-який ізоморфізм, $f\in Mor(A,B)_{\mathfrak {A}},$ такий що B належить ${\mathfrak {B}}$, також належить ${\mathfrak {B}}$. Замкнута щодо ізоморфізмів повна категорія називається строго повною.

Підкатегорія категорії ${\mathfrak {A}}$ називається широкою, якщо вона містить усі об'єкти ${\mathfrak {A}}$. Зокрема, єдиною широкою повною категорією категорії ${\mathfrak {A}}$ є сама категорія ${\mathfrak {A}}$.

Приклади

• Категорія скінченних множин є повною підкатегорією категорії множин Set.
• Категорія, об'єктами якої є множини, а морфізмами — бієкції, є неповною підкатегорією категорії множин Set.
• Категорія Ab комутативних груп є повною категорією категорії груп Gr.
• Категорія кілець з одиницею (морфізми якої є гомоморфізмами, що зберігають одиниці) є неповною підкатегорією категорії кілець.

Див. Також

• Теорія категорій

Література

• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.