Компактифікація Стоуна — Чеха

Компактифікація Стоуна - Чеха (також стоун-чехівська або чех-стоунова компактифікація) — максимальна компактифікація цілком регулярного топологічного простору.

Компактифікація Стоуна - Чеха простору $X$ зазвичай позначається як $\beta X$.

Конструкція

Позначимо через $A$ множину всіх неперервних функцій $\alpha \colon X\to [0,1]$. Можна перевірити, що відображення $F:X\to [0,1]^{A}$ (тихонівський куб), визначене рівністю

$x\mapsto (\alpha (x))_{\alpha \in A}$,

є гомеоморфізмом $X$ на свій образ $F(X)\subset [0,1]^{A}$. Замикання $F(X)$ у $[0,1]^{A}$ і буде шуканою компактифікацією.

Властивості

• Будь-яка неперервна функція $f\colon X\to I=[0,1]$ продовжується до неперервної функції ${\tilde {f}}\colon \beta X\to I$.
• Будь-яке неперервне відображення $f\colon X\to Y$ у компактний гаусдорфів простір $Y$ продовжується до неперервного відображення ${\tilde {f}}\colon \beta X\to Y$.

Історія

Конструкція компактифікації Стоуна — Чеха, була вперше розглянута Тихоновим.