Ядро (теорія категорій)

Ядро в теорії категорій — категорний еквівалент ядра гомоморфізма з загальної алгебри; інтуїтивно, ядро морфізма — «найбільш загальний» морфізм композиція якого із дає нульовий морфізм.

ОзначенняРедагувати

Нехай   — категорія з нульовими морфізмами. Тоді ядром морфізма   називається морфізм   для якого виконується виконується універсальна властивість:

  •   — нульовий морфізм з   в  :
     
  • Для будь-якого морфізма  , такого що   - нульовий, існує єдиний морфізм  , такий що  :
     

Морфізм може не мати ядра. У випадку коли ядра існують то вони є ізоморфними: якщо k : KX і l : LX є ядрами f : XY, то існує єдиний ізоморфізм φ : KL для якого l ∘ φ = k.

ПрикладиРедагувати

У багатьох категоріях це визначення ядра збігається зі звичайним: якщо   — гомоморфізм груп або модулів, то ядро в категорному сенсі — вкладення ядра в алгебричному сенсі в прообраз.

Однак в категорії моноїдів ядра в категорному сенсі аналогічні ядрам груп, тому означення ядра в теорії моноїдів трохи відрізняється. У категорії кілець, навпаки, ядер в категорному сенсі не існує взагалі, оскільки не існує нульових морфізмів. Інтерпретувати ядра моноїдів і кілець в теорії категорій можна за допомогою концепції пар ядер.

У категорії топологічних просторів із виділеною точкою якщо f : XY є неперервним відображенням таких просторів (тобто образом виділеної точки є виділена точка), то прообраз виділеної точки, K, є підпростором у X. Включення K в X є категорним ядром функтора f.

Зв'язок з іншими категорноми поняттямиРедагувати

Двоїсте до ядра поняття — коядро, тобто ядро морфізма — його коядро в двоїстій категорії, і навпаки.

Кожне ядро, є мономорфізмом. Навпаки, мономорфізм називається нормальним, якщо він є ядром іншого морфізма. Категорія називається нормальною, якщо будь-який мономорфізм в ній є нормальним.

Зокрема, абелеві категорії є нормальними. У цій ситуації, ядро коядра морфізма називається його образом. Зокрема кожен мономорфізм є своїм власним образом.

ЛітератураРедагувати

  • И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.