Комутант групи (також похідна підгрупа) — підгрупа породжена усіма комутаторами групи. Комутант є найменшою нормальною підгрупою факторгрупа по якій є абелевою. Комутатор групи G, позначається [G,G].

Зміст

ВизначенняРедагувати

КомутаториРедагувати

Комутатор елементів   і   — елемент  , що визначається за формулою:

 .

Комутант групиРедагувати

Множина комутаторів є замкнутою щодо взяття оберненого елемента, проте не обов'язково щодо множення. Тобто загалом вона не є підгрупою G. Підгрупа породжена комутаторами і називається комутантом групи [G,G].

 
  • Довільний елемент комутанта є добутком скінченної кількості комутантів групи G, тобто елементів виду:
 

АбелізаціяРедагувати

Оскільки [G,G] є нормальною підгрупою групи G, можна визначити факторгрупу G по підгрупі [G,G]. Дана факторгрупа є абелевою і називається абелізацією групи G :

 
Якщо H — нормальна підгрупа G, і факторгрупа G/H є абелевою, то [G,G] є підгрупою H.

Похідні рядиРедагувати

Конструкцію використану у визначенні комутанта можна далі використати ітеративно:

 
 

Групи   називаються другою похідною підгрупою, третьою похідною підгрупою, і т. д., і спадний ряд нормальних підгруп:

 

називається похідним рядом. Якщо для якогось натурального числа n виконується   то група G називається розв'язною.

ВластивостіРедагувати

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати