Комутант
Комутант групи (також похідна підгрупа) — підгрупа породжена усіма комутаторами групи. Комутант є найменшою нормальною підгрупою факторгрупа по якій є абелевою. Комутатор групи G, позначається [G,G].
Визначення
ред.Комутатори
ред.Комутатор елементів і — елемент , що визначається за формулою:
- .
Комутант групи
ред.Множина комутаторів є замкнутою щодо взяття оберненого елемента, проте не обов'язково щодо множення. Тобто загалом вона не є підгрупою G. Підгрупа породжена комутаторами і називається комутантом групи [G,G].
- Довільний елемент комутанта є добутком скінченної кількості комутантів групи G, тобто елементів виду:
- Комутант є характеристичною і, відповідно, нормальною підгрупою.
Абелізація
ред.Оскільки [G,G] є нормальною підгрупою групи G, можна визначити факторгрупу G по підгрупі [G,G]. Дана факторгрупа є абелевою і називається абелізацією групи G :
- Якщо H — нормальна підгрупа G, і факторгрупа G/H є абелевою, то [G,G] є підгрупою H.
Похідні ряди
ред.Конструкцію використану у визначенні комутанта можна далі використати ітеративно:
Групи називаються другою похідною підгрупою, третьою похідною підгрупою, і т. д., і спадний ряд нормальних підгруп:
називається похідним рядом. Якщо для якогось натурального числа n виконується то група G називається розв'язною.
Властивості
ред.- Комутант групи є характеристичною підгрупою, а будь-яка підгрупа, що містить комутант є нормальною.
Див. також
ред.Література
ред.Українською
ред.- (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами
ред.- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)