Характеристична підгрупа

Характеристична підгрупапідгрупа, інваріантна відносно всіх автоморфізмів групи. Тобто підгрупа є характеристичною, якщо для кожного автоморфізму групи і для кожного елемента виконуєься .

ВластивостіРедагувати

  • Якщо підгрупа є характеристичною, вона є нормальною, зворотне твердження невірне.
Наприклад якщо група G є прямим добутком H × H, то підгрупи {1} × H і H × {1} є нормальними, але не є характеристичними (зокрема не є інваріантними щодо автоморфізму (x, y) → (y, x))
  • Якщо N є нормальною підгрупою групи G, а A є характеристичною підгрупою групи N, то Aє нормальною підгрупою групи G.
Для деякого   визначимо внутрішній автоморфізм таким чином:   Оскільки група N нормальна то за означенням маємо, що   тобто   є автоморфізмом групи N. Відповідно оскільки A є характеристичною підгрупою групи N то вона інваріантна щодо усіх таких   тобто є нормальною.
  • Якщо N є характеристичною підгрупою групи G, і A є характеристичною підгрупою групи N, то іAє характеристичною підгрупою групи G.
Доводиться ідентично до попереднього з заміною   на довільний автоморфізм.

ПрикладиРедагувати

Дійсно нехай   деякий автоморфізм групи і   деякий елемент, що належить центру групи. Тоді   і оскільки   то маємо  .
  • Підгрупа Фраттіні, що визначається як перетин всіх максимальних підгруп, є характеристичною підгрупою.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати