Породжувальна множина групи

(Перенаправлено з Породжуюча множина групи)

Породжувальна множина групи — це така підмножина S групи G, що кожен елемент групи G можна подати як добуток скінченної кількості елементів із S та обернених до них.

Загальніше, якщо S підмножина групи G, тоді <S> — підгрупа породжена S, це найменша підгрупа G яка містить всі елементи S. Еквівалентно, <S> це підгрупа всіх елементів G, які можуть бути представлені як добутки скінченної кількості елементів з S та обернених до них.

Якщо G = <S>, говорять, що S породжує G, а елементи S називаються твірними або породжувальними елементами групи G. Якщо S — порожня, то за визначенням, вважається <S> = {e}.

Коли S містить тільки один елемент x, зазвичай пишуть <x> = G. В такому випадку <x> — це циклічна підгрупа степенів x в G.

Вільна групаРедагувати

Найзагальніша група породжена множиною S — це група вільно породжена S. Кожна група породжена S, ізоморфна факторгрупі такої групи. Ця властивість використовується для задання групи.

ПрикладиРедагувати

Симетрична групаРедагувати

При n ≥ 3 симетрична група Sn не є циклічною (не може бути породженою одним елементом).

Хоча може бути породжена двома елементами: перестановка   та перестановка  .

Для прикладу, перечислимо всі 6 елементів S3:

e = (1 2)(1 2)
(1 2) = (1 2)
(1 3) = (1 2)(1 2 3)
(2 3) = (1 2 3)(1 2)
(1 2 3) = (1 2 3)
(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

Знакозмінна групаРедагувати

При n ≥ 3 знакозмінна група може бути породжена 3-циклами (перестановками  ).

В знакозмінній групі парна кількість транспозицій, і кожна пара транспозицій може бути утворена одним чи двома 3-циклами:

 
 .

чи в циклічній нотації

(a b) * (a c) = (a b c)
(a b) * (c d) = (a b c) * (c a d)

При n ≥ 3 знакозмінна група може бути породжена m-циклами (де m — непарне число > 1).

Оскільки:

  • m-цикл має (m - 1), тобто, парну кількість транспозицій, отже є елементом групи і
  • довільний 3-цикл є добутком m-циклів:
 .

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати